如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,如果點E由點B出發沿BC方向向點C勻速運動,同時點F由點D...
問題詳情:
如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,如果點E由點B出發沿BC方向向點C勻速運動,同時點F由點D出發沿DA方向向點A勻速運動,它們的速度分別為每秒2cm和1cm,FQ⊥BC,分別交AC、BC於點P和Q,設運動時間為t秒(0<t<4).
(1)連線EF,若運動時間t= 時,EF⊥AC;
(2)連線EP,當△EPC的面積為3cm2時,求t的值;
(3)若△EQP∽△ADC,求t的值.
【回答】
【解答】解:(1)如圖1,
在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,根據勾股定理得,AC=10,
∵∠B=∠D=∠BCD=90°,FQ⊥BC於Q,
∴四邊形CDFQ是矩形,
∴CQ=DF,
由運動知,BE=2t,DF=t,
∴CQ=t,CE=BC﹣BE=8﹣2t,AF=8﹣t,
∴EQ=CE﹣CQ=8﹣3t,
在Rt△ABC中,cos∠ACB==,
在Rt△CPQ中,cos∠ACB==,
∴CP=t,
∵EF⊥AC,
∴∠CGE=90°=∠ABC,
∴∠ACB+∠FEQ=90°,
∵∠ACB+∠BAC=90°,
∴∠FEQ=∠BAC,
∴△ABC∽△EQF.
∴
∴,
∴EQ=,
∴8﹣3t=,
t=秒;
故*為秒;
(2)由(1)知,CE=8﹣2t,CQ=t,
在Rt△ABC中,tan∠ACB==,
在Rt△CPQ中,tan∠ACB===,
∴PQ=t,
∵△EPC的面積為3cm2,
∴S△EPC=CE×PQ=×(8﹣2t)×t=3,
∴t=2秒,
即:t的值為2秒;
(3)四邊形ABCD是矩形,[來源:]
∴AD∥BC,
∴∠CAD=∠ACB,
∵△EQP∽△ADC,
∴∠CAD=∠QEP,
∴∠ACB=∠QEP,
∴EQ=CQ,
∴CE=2CQ,
由(1)知,CQ=t,CE=8﹣2t,
∴8﹣2t=2t,
∴t=2秒.
即:t的值為2秒.
知識點:相似三角形
題型:綜合題
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