如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以底邊BC的垂直平分線和BC所在的直線建立平面直角座標系,拋物線y=﹣...
問題詳情:
如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以底邊BC的垂直平分線和BC所在的直線建立平面直角座標系,拋物線y=﹣x2+x+4經過A、B兩點.
(1)寫出點A、點B的座標;
(2)若一條與y軸重合的直線l以每秒2個單位長度的速度向右平移,分別交線段OA、CA和拋物線於點E、M和點P,連線PA、PB.設直線l移動的時間為t(0<t<4)秒,求四邊形PBCA的面積S(面積單位)與t(秒)的函式關係式,並求出四邊形PBCA的最大面積;
(3)在(2)的條件下,拋物線上是否存在一點P,使得△PAM是直角三角形?若存在,請求出點P的座標;若不存在,請說明理由.
【回答】
【考點】二次函式綜合題.
【分析】(1)拋物線的解析式中,令x=0,能確定點B的座標;令y=0,能確定點A的座標.
(2)四邊形PBCA可看作△ABC、△PBA兩部分;△ABC的面積是定值,關鍵是求出△PBA的面積表示式;若設直線l與直線AB的交點為Q,先用t表示出線段PQ的長,而△PAB的面積可由(PQ•OA)求得,在求出S、t的函式關係式後,由函式的*質可求得S的最大值.
(3)△PAM中,∠APM是銳角,而PM∥y軸,∠AMP=∠ACO也不可能是直角,所以只有∠PAC是直角一種可能,即 直線AP、直線AC垂直,此時兩直線的斜率乘積為﹣1,先求出直線AC的解析式,聯立拋物線的解析式後可求得點P的座標.
【解答】解:(1)拋物線y=﹣x2+x+4中:
令x=0,y=4,則 B(0,4);
令y=0,0=﹣x2+x+4,解得 x1=﹣1、x2=8,則 A(8,0);
∴A(8,0)、B(0,4).
(2)△ABC中,AB=AC,AO⊥BC,則OB=OC=4,∴C(0,﹣4).
由A(8,0)、B(0,4),得:直線AB:y=﹣x+4;
依題意,知:OE=2t,即 E(2t,0);
∴P(2t,﹣2t2+7t+4)、Q(2t,﹣t+4),PQ=(﹣2t2+7t+4)﹣(﹣t+4)=﹣2t2+8t;
S=S△ABC+S△PAB=×8×8+×(﹣2t2+8t)×8=﹣8t2+32t+32=﹣8(t﹣2)2+64;
∴當t=2時,S有最大值,且最大值為64.
(3)∵PM∥y軸,∴∠AMP=∠ACO<90°;
而∠APM是銳角,所以△PAM若是直角三角形,只能是∠PAM=90°;
由A(8,0)、C(0,﹣4),得:直線AC:y=x﹣4;
所以,直線AP可設為:y=﹣2x+h,代入A(8,0),得:
﹣16+h=0,h=16
∴直線AP:y=﹣2x+16,聯立拋物線的解析式,得:
,解得、
∴存在符合條件的點P,且座標為(3,10).
知識點:二次函式與一元二次方程
題型:綜合題
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