如圖，在平面直角座標系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，OA＝1，OC＝4，拋物線y＝x...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，OA＝1，OC＝4，拋物線y＝x2+bx+c經過A，B兩點，拋物線的頂點為D．

（1）求b，c的值；

（2）點E是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（點A、B除外），過點E作x軸的垂線交拋物線於點F，當線段EF的長度最大時，求點E的座標；

（3）在（2）的條件下：

①求以點E、B、F、D為頂點的四邊形的面積；

②在拋物線上是否存在一點P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點P的座標；若不存在，說明理由．

【回答】

解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5），

∵二次函式y＝x2+bx+c的圖象經過點A（﹣1，0），B（4，5），

∴，

解得：b＝﹣2，c＝﹣3；

（2）如圖：∵直線AB經過點A（﹣1，0），B（4，5），

∴直線AB的解析式為：y＝x+1，

∵二次函式y＝x2﹣2x﹣3，

∴設點E（t，t+1），則F（t，t2﹣2t﹣3），

∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，

∴當t＝時，EF的最大值為，

∴點E的座標為（，）；

（3）①如圖：順次連線點E、B、F、D得四邊形EBFD．

可求出點F的座標（，），點D的座標為（1，﹣4）

S四邊形EBFD＝S△BEF+S△DEF＝××（4﹣）+××（﹣1）＝；

②如圖：

ⅰ）過點E作a⊥EF交拋物線於點P，設點P（m，m2﹣2m﹣3）

則有：m2﹣2m﹣3＝，

解得：m1＝1+，m2＝1﹣，

∴P1（1﹣，），P2（1+，），

ⅱ）過點F作b⊥EF交拋物線於P3，設P3（n，n2﹣2n﹣3）

則有：n2﹣2n﹣3＝﹣，

解得：n1＝，n2＝（與點F重合，捨去），

∴P3（，﹣），

綜上所述：所有點P的座標：P1（1+，），P2（1﹣，），P3（，﹣）能使△EFP組成以EF為直角邊的直角三角形．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：綜合題