如圖，在平面直角座標系中，直線與拋物線交於A、B兩點，點A在x軸上，點B的橫座標為﹣8．（1）求該拋物線的解析...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，直線與拋物線交於A、B兩點，點A在x軸上，點B的橫座標為﹣8．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB於點D，作PE⊥AB於點E．

①設△PDE的周長為l，點P的橫座標為x，求l關於x的函式關係式，並求出l的最大值；

②連線PA，以PA為邊作圖示一側的正方形APFG．隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變．當頂點F或G恰好落在y軸上時，直接寫出對應的點P的座標．

【回答】

【考點】HF：二次函式綜合題．

【分析】（1）利用待定係數法求出b，c即可；

（2）①根據△AOM∽△PED，得出DE：PE：PD=3：4：5，再求出PD=yP﹣yD求出二函式最值即可；

②當點G落在y軸上時，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即，解得，

所以得出P點座標，當點F落在y軸上時，x=﹣﹣x+，解得x=，可得P點座標．

【解答】解：（1）對於，當y=0，x=2．當x=﹣8時，y=﹣．

∴A點座標為（2，0），B點座標為．

由拋物線經過A、B兩點，

得

解得．

∴．

（2）①設直線與y軸交於點M，

當x=0時，y=．∴OM=．

∵點A的座標為（2，0），∴OA=2．∴AM=．

∵OM：OA：AM=3：4：5．

由題意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM∽△PED．

∴DE：PE：PD=3：4：5．

∵點P是直線AB上方的拋物線上一動點，

∵PD⊥x軸，

∴PD兩點橫座標相同，

∴PD=yP﹣yD=﹣﹣x+﹣（x﹣）

=﹣x2﹣x+4，

∴

=．

∴．

∴x=﹣3時，l最大=15．

②當點G落在y軸上時，如圖2，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，

即，解得，

所以，

如圖3，過點P作PN⊥y軸於點N，過點P作PS⊥x軸於點S，

由△PNF≌△PSA，

PN=PS，可得P點橫縱座標相等，

故得當點F落在y軸上時，

x=﹣﹣x+，解得x=，

可得，（捨去）．

綜上所述：滿足題意的點P有三個，分別是

．

【點評】此題主要考查了二次函式的綜合應用以及相似三角形的判定以及待定係數法求二次函式解析式，利用數形結合進行分析以及靈活應用相似三角形的判定是解決問題的關鍵．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：綜合題