是否存在正整數m使得f(n)=(2n+7)·3n+9對任意自然數n都能被m整除,若存在,求出最大的m的值,並*...
問題詳情:
是否存在正整數m使得f(n)=(2n+7)·3n+9對任意自然數n都能被m整除,若存在,求出最大的m的值,並*你的結論;若不存在,說明理由.
【回答】
解 由f(n)=(2n+7)·3n+9得,f(1)=36,f(2)=3×36,f(3)=10×36,f(4)=34×36,由此猜想:m=36.
下面用數學歸納法*:
(1)當n=1時,顯然成立;
(2)假設n=k(k∈N*且k≥1)時,f(k)能被36整除,即f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除;當n=k+1時,[2(k+1)+7]·3k+1+9=(2k+7)·3k+1+27-27+2·3k+1+9=3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1),
由於3k-1-1是2的倍數,故18(3k-1-1)能被36整除,這就是說,當n=k+1時,f(n)也能被36整除.
由(1)(2)可知對一切正整數n都有f(n)=(2n+7)·3n+9能被36整除,m的最大值為36.
知識點:數列
題型:解答題
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