綜合與探究如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交於A、B兩點，與y軸交於C點，OA＝2，OC＝6，連線AC和B...

問題詳情：

綜合與探究

如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交於A、B兩點，與y軸交於C點，OA＝2，OC＝6，連線AC和BC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點D在拋物線的對稱軸上，當△ACD的周長最小時，點D的座標為　   　．

（3）點E是第四象限內拋物線上的動點，連線CE和BE．求△BCE面積的最大值及此時點E的座標；

（4）若點M是y軸上的動點，在座標平面內是否存在點N，使以點A、C、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的座標；若不存在，請說明理由．

【回答】

【解答】解：（1）∵OA＝2，OC＝6

∴A（﹣2，0），C（0，﹣6）

∵拋物線y＝x2+bx+c過點A、C

∴   解得：

∴拋物線解析式為y＝x2﹣x﹣6

（2）∵當y＝0時，x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝3

∴B（3，0），拋物線對稱軸為直線x＝

∵點D在直線x＝上，點A、B關於直線x＝對稱

∴xD＝，AD＝BD

∴當點B、D、C在同一直線上時，C△ACD＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC最小

設直線BC解析式為y＝kx﹣6

∴3k﹣6＝0，解得：k＝2

∴直線BC：y＝2x﹣6

∴yD＝2×﹣6＝﹣5

∴D（，﹣5）

故*為：（，﹣5）

（3）過點E作EG⊥x軸於點G，交直線BC與點F

設E（t，t2﹣t﹣6）（0＜t＜3），則F（t，2t﹣6）

∴EF＝2t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+3t

∴S△BCE＝S△BEF+S△CEF＝EF•BG+EF•OG＝EF（BG+OG）＝EF•OB＝×3（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+

∴當t＝時，△BCE面積最大

∴yE＝（）2﹣﹣6＝﹣

∴點E座標為（，﹣）時，△BCE面積最大，最大值為．

（4）存在點N，使以點A、C、M、N為頂點的四邊形是菱形．

∵A（﹣2，0），C（0，﹣6）

∴AC＝

①若AC為菱形的邊長，如圖3，

則MN∥AC且，MN＝AC＝2

∴N1（﹣2，2），N2（﹣2，﹣2），N3（2，0）

②若AC為菱形的對角線，如圖4，則AN4∥CM4，AN4＝CN4

設N4（﹣2，n）

∴﹣n＝

解得：n＝﹣

∴N4（﹣2，﹣）

綜上所述，點N座標為（﹣2，2），（﹣2，﹣2），（2，0），（﹣2，﹣）．

知識點：各地會考

題型：綜合題