在平面直角座標系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，橢圓C截直線y＝1所得線段的...

問題詳情：

在平面直角座標系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，橢圓C截直線y＝1所得線段的長度為2．

(1)求橢圓C的方程；

(2)動直線l：y＝kx＋m(m≠0)交橢圓C於A，B兩點，交y軸於點M，點N是M關於O的對稱點，⊙N的半徑為|NO|．設D為AB的中點，DE，DF與⊙N分別相切於點E，F，求∠EDF的最小值．

【回答】

解：(1)由橢圓的離心率為，得a2＝2(a2－b2)．

又當y＝1時，x2＝a2－，得a2－＝2，

所以a2＝4，b2＝2，

因此橢圓方程為＋＝1．

(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)．

因為|NF|＝|m|，

令y＝t＋，所以y′＝1－．

當t≥3時，y′>0，

從而y＝t＋在[3，＋∞)上單調遞增，

因此t＋≥，

等號若且唯若t＝3時成立，此時k＝0，

所以≤1＋3＝4，

由(*)得－<m<且m≠0．

故≥，

設∠EDF＝2θ，則sin θ＝≥，

所以θ的最小值為．

從而∠EDF的最小值為，此時直線l的斜率是0．

綜上所述：當k＝0，m∈(－，0)∪(0，)時，∠EDF取到最小值．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題