在平面直角座標系中，已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的上頂點和右焦點，的面積為，直線與橢圓交於另一個點，線段的...

問題詳情：

在平面直角座標系中，已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的上頂點和右焦點，的面積為，直線與橢圓交於另一個點，線段的中點為.

（1）求直線的斜率；

（2）設平行於的直線與橢圓交於不同的兩點，，且與直線交於點，求*：存在常數，使得.

【回答】

（1）因為橢圓的離心率為，所以，即，，

所以，，所以，所以，所以橢圓的方程為.

直線的方程為，聯立消去得，所以或，

所以，從而得線段的中點.

所以直線的斜率為.

（2）由（1）知，直線的方程為，直線的斜率為，設直線的方程為.

聯立得所以點的座標為.

所以，.

所以.

聯立消去得，

由已知得，又，得.

設，，則，，

，.

所以，

，

故.

所以.所以存在常數，使得.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題