已知橢圓的中心為座標原點O，橢圓短半軸長為1，動點M(2，t)(t>0)在直線x＝(a為長半軸，c為半焦...

問題詳情：

已知橢圓的中心為座標原點O，橢圓短半軸長為1，動點M(2，t)(t>0)在直線x＝ (a為長半軸，c為半焦距)上．

(1) 求橢圓的標準方程；

(2) 求以OM為直徑且被直線3x－4y－5＝0截得的弦長為2的圓的方程；

(3) 設F是橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交於點N，求*：線段ON的長為定值，並求出這個定值．

【回答】

 (1) 解：由點M在準線上，得＝2，∴  c＝1，從而a＝，所以橢圓方程為＋y2＝1.

(2) 解：以OM為直徑的圓的方程為x(x－2)＋y(y－t)＝0，即，其圓心為，半徑r＝，因為以OM為直徑的圓被直線3x－4y－5＝0截得的弦長為2，所以圓心到直線3x－4y－5＝0的距離，解得t＝4，所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝5.

(3) *：設N(x0，y0)，則＝(x0－1，y0)，＝(2，t)，＝(x0－2，y0－t)，＝(x0，y0)．

∵  ⊥，∴  2(x0－1)＋ty0＝0，∴  2x0＋ty0＝2.

∵  ⊥，∴  x0(x0－2)＋y0(y0－t)＝0，∴  x＋y＝2x0＋ty0＝2，

∴ ||＝＝為定值．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題