若二次函式y＝ax2+bx+c的圖象與x軸、y軸分別交於點A（3，0）、B（0，﹣2），且過點C（2，﹣2）．...

問題詳情：

若二次函式y＝ax2+bx+c的圖象與x軸、y軸分別交於點A（3，0）、B（0，﹣2），且過點C（2，﹣2）．

（1）求二次函式表示式；

（2）若點P為拋物線上第一象限內的點，且S△PBA＝4，求點P的座標；

（3）在拋物線上（AB下方）是否存在點M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出點M到y軸的距離；若不存在，請說明理由．

【回答】

【分析】（1）用A、B、C三點座標代入，用待定係數法求二次函式表示式．

（2）設點P橫座標為t，用t代入二次函式表示式得其縱座標．把t當常數求直線BP解析式，進而求直線BP與x軸交點C座標（用t表示），即能用t表示AC的長．把△PBA以x軸為界分成△ABC與△ACP，即得到S△PBA＝AC（OB+PD）＝4，用含t的式子代入即得到關於t的方程，解之即求得點P座標．

（3）作點O關於直線AB的對稱點E，根據軸對稱*質即有AB垂直平分OE，連線BE交拋物線於點M，即有BE＝OB，根據等腰三角形三線合一得∠ABO＝∠ABM，即在拋物線上（AB下方）存在點M使∠ABO＝∠ABM．設AB與OE交於點G，則G為OE中點且OG⊥AB，利用△OAB面積即求得OG進而得OE的長．易求得∠OAB＝∠BOG，求∠OAB的正弦和餘弦值，應用到Rt△OEF即求得OF、EF的長，即得到點E座標．求直線BE解析式，把BE解析式與拋物線解析式聯立，求得x的解一個為點B橫座標，另一個即為點M橫座標，即求出點M到y軸的距離．

【解答】解：（1）∵二次函式的圖象經過點A（3，0）、B（0，﹣2）、C（2，﹣2）

∴   解得：

∴二次函式表示式為y＝x2﹣x﹣2

（2）如圖1，設直線BP交x軸於點C，過點P作PD⊥x軸於點D

設P（t，t2﹣t﹣2）（t＞3）

∴OD＝t，PD＝t2﹣t﹣2

設直線BP解析式為y＝kx﹣2

把點P代入得：kt﹣2＝t2﹣t﹣2

∴k＝t﹣

∴直線BP：y＝（t﹣）x﹣2

當y＝0時，（t﹣）x﹣2＝0，解得：x＝

∴C（，0）

∵t＞3

∴t﹣2＞1

∴，即點C一定在點A左側

∴AC＝3﹣

∵S△PBA＝S△ABC+S△ACP＝AC•OB+AC•PD＝AC（OB+PD）＝4

∴＝4

解得：t1＝4，t2＝﹣1（捨去）

∴t2﹣t﹣2＝

∴點P的座標為（4，）

（3）在拋物線上（AB下方）存在點M，使∠ABO＝∠ABM．

如圖2，作點O關於直線AB的對稱點E，連線OE交AB於點G，連線BE交拋物線於點M，過點E作EF⊥y軸於點F

∴AB垂直平分OE

∴BE＝OB，OG＝GE

∴∠ABO＝∠ABM

∵A（3，0）、B（0，﹣2），∠AOB＝90°

∴OA＝3，OB＝2，AB＝

∴sin∠OAB＝，cos∠OAB＝

∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OG

∴OG＝

∴OE＝2OG＝

∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90°

∴∠OAB＝∠BOG

∴Rt△OEF中，sin∠BOG＝，cos∠BOG＝

∴EF＝OE＝，OF＝OE＝

∴E（，﹣）

設直線BE解析式為y＝ex﹣2

把點E代入得：e﹣2＝﹣，解得：e＝﹣

∴直線BE：y＝﹣x﹣2

當﹣x﹣2＝x2﹣x﹣2，解得：x1＝0（捨去），x2＝

∴點M橫座標為，即點M到y軸的距離為．

【點評】本題考查了待定係數法求二次函式、一次函式解析式，一元二次方程的解法，軸對稱的*質，等腰三角形*質，三角函式的應用．第（3）題點的存在*問題，可先通過畫圖確定滿足∠ABO＝∠ABM的點M位置，通過相似三角形對應邊成比例或三角函式為等量關係求線段的長．

知識點：各地會考

題型：綜合題