如圖，拋物線y=ax2﹣2x+c（a≠0）與x軸、y軸分別交於點A，B，C三點，已知點A（﹣2，0），點C（0...

問題詳情：

如圖，拋物線y=ax2﹣2x+c（a≠0）與x軸、y軸分別交於點A，B，C三點，已知點A（﹣2，0），點C（0，﹣8），點D是拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的座標；

（2）如圖1，拋物線的對稱軸與x軸交於點E，第四象限的拋物線上有一點P，將△EBP沿直線EP摺疊，使點B的對應點B'落在拋物線的對稱軸上，求點P的座標；

（3）如圖2，設BC交拋物線的對稱軸於點F，作直線CD，點M是直線CD上的動點，點N是平面內一點，當以點B，F，M，N為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點M的座標．

【回答】

【解答】解：（1）將點A、點C的座標代入拋物線的解析式得：，

解得：a=1，c=﹣8．

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣8．

∵y=（x﹣1）2﹣9，

∴D（1，﹣9）．

（2）將y=0代入拋物線的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，

∴B（4，0）．

∵y=（x﹣1）2﹣9，

∴拋物線的對稱軸為x=1，

∴E（1，0）．

∵將△EBP沿直線EP摺疊，使點B的對應點B'落在拋物線的對稱軸上，

∴EP為∠BEF的角平分線．

∴∠BEP=45°．

設直線EP的解析式為y=﹣x+b，將點E的座標代入得：﹣1+b=0，解得b=1，

∴直線EP的解析式為y=﹣x+1．

將y=﹣x+1代入拋物線的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=或x=．

∵點P在第四象限，[來源:學&科&網]

∴x=．

∴y=．

∴P（，）．

（3）設CD的解析式為y=kx﹣8，將點D的座標代入得：k﹣8=﹣9，解得k=﹣1，

∴直線CD的解析式為y=﹣x﹣8．

設直線CB的解析式為y=k2x﹣8，將點B的座標代入得：4k2﹣8=0，解得：k2=2．

∴直線BC的解析式為y=2x﹣8．

將x=1代入直線BC的解析式得：y=﹣6，

∴F（1，﹣6）．

設點M的座標為（a，﹣a﹣8）．

當MF=MB時，（a﹣4）2+（a+8）2=（a﹣1）2+（a+2）2，整理得：6a=﹣75，解得：a=﹣．

∴點M的座標為（﹣，）．

當FM=FB時，（a﹣1）2+（a+2）2=（4﹣1）2+（﹣6﹣0）2，整理得：a2+a﹣20=0，解得：a=4或a=﹣5．

∴點M的座標為（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．

綜上所述，點M的座標為（﹣，）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：解答題