(2019·湖北會考模擬)如圖,正方形ABCD中,點E、F分別線上BC、CD上運動,且滿足∠EAF=45°,A...
問題詳情:
(2019·湖北會考模擬)如圖,正方形ABCD中,點E、F分別線上BC、CD上運動,且滿足∠EAF=45°,AE、AF分別與BD相交於點M、N.下列說法中:①BE+DF=EF;②點A到線段EF的距離一定等於正方形的邊長;③若tan∠BAE=,則tan∠DAF=;④若BE=2,DF=3,則S△AEF=18.其中結論正確的是__(將正確的序號寫在橫線上)
【回答】
①②③.
【解析】
解:如圖,把△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABH,
由旋轉的*質得,BH=DF,AH=AF,∠BAH=∠DAF,
∵∠EAF=45°,
∴∠EAH=∠BAH+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°﹣∠EAF=45°,
∴∠EAH=∠EAF=45°,
在△AEF和△AEH中 ,
∴△AEF≌△AEH(SAS),
∴EH=EF,
∴∠AEB=∠AEF,
∴BE+BH=BE+DF=EF,
故①正確;
過A作AG⊥EF於G,
∴∠AGE=∠ABE=90°,
在△ABE與△AGE中 ,
∴△ABE≌△AGE(AAS),
∴AB=AG,
∴點A到線段EF的距離一定等於正方形的邊長;故②正確;
∵tan∠BAE= ,
∴設BE=m,AB=2m,
∴CE=m,
設DF=x,則CF=2m﹣x,EF=BE+DF=m+x,
∵CF2+CE2=EF2,
∴(2m﹣x)2+m2=(m+x)2,
∴x=m,
∴;故③正確;
∵BE=2,DF=3,
∴EF=BE+DF=5,
設BC=CD=n,
∴CE=n﹣2,CF=n﹣3,
∴EF2=CE2+CF2,
∴25=(n﹣2)2+(n﹣3)2,
∴n=6(負值捨去),
∴AG=6,
∴.故④錯誤,
故*為①②③.
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定和*質,正方形的*質,三角形的面積,熟練全等三角形的判定定理是解決此類題的關鍵.
知識點:解直角三角形與其應用
題型:綜合題
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