如圖,已知圓柱和半徑為的半球O,圓柱的下底面在半球O底面所在平面上,圓柱的上底面內接於球O,則該圓柱的體積的最...
問題詳情:
如圖,已知圓柱和半徑為的半球O,圓柱的下底面在半球O底面所在平面上,圓柱的上底面內接於球O,則該圓柱的體積的最大值為_____.
【回答】
2π
【解析】
【分析】
設圓柱的底面圓半徑為r,高為h,求出r與h的關係,再計算圓柱的體積V,從而求出體積V的最大值.
【詳解】解:設圓柱的底面圓半徑為r,高為h;
則h2+r2=R2=3;
所以圓柱的體積為V=πr2h=π(3﹣h2)h=π(3h﹣h3);
則V′(h)=π(3﹣3h2),
令V′(h)=0,解得h=1;
所以h∈(0,1)時,V′(h)>0,V(h)單調遞增;
h∈(1,)時,V′(h)<0,V(h)單調遞減;
所以h=1時,V(h)取得最大值為V(1)=2π.
故*為:2π.
【點睛】本題考查了半球與內接圓柱的結構特徵與應用問題,也考查了圓柱的體積計算問題,是中檔題.
知識點:空間幾何體
題型:填空題
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