如圖，△BCD是等邊三角形AB＝AD，∠BAD＝90°，將△BCD沿BD摺疊到△BC′D的位置，使得AD⊥C′...

問題詳情：

如圖，△BCD是等邊三角形AB＝AD，∠BAD＝90°，將△BCD沿BD摺疊到△BC′D的位置，使得AD⊥C′B.

(1)求*：AD⊥AC′；

(2)若M，N分別是BD，C′B的中點，求二面角N－AM－B的餘弦值．

【回答】

 (1)∵∠BAD＝90°，∴AD⊥AB，

又∵C′B⊥AD，且AB∩C′B＝B，

∴AD⊥平面C′AB，

∵AC′⊂平面C′AB，

∴AD⊥AC′；

(2)∵△BCD是等邊三角形，AB＝AD，∠BAD＝90°，

不妨設AB＝1，則BC＝CD＝BD＝，

以點A為座標原點，分別以AB，AD，AC′所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角座標系Axyz，

則A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C′(0,0,1)，

∵點M、N分別為BD，C′B的中點，∴M，N，

∴＝，＝，

設平面AMN的一個法向量為m＝(x，y，z)，

則即

令x＝1，則y＝z＝－1，∴m＝(1，－1，－1)，

平面ABM的一個法向量為n＝(0,0,1)，

∴cos〈m，n〉＝＝＝－，

∴二面角N－AM－B的餘弦值為.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題