已知三稜錐四個頂點均在半徑為R的球面上,且,若該三稜錐體積的最大值為1,則這個球的表面積為A. ...
問題詳情:
已知三稜錐四個頂點均在半徑為R的球面上,且,若該三稜錐體積的最大值為1,則這個球的表面積為
A. B. C. D.
【回答】
D
【解析】
分析:因為三稜錐的體積有最大值且為確定的三角形,故球心在三稜錐的內部且球心到平面的距離是定值.要使得體積最大,只要到平面的距離最大即可,此時與球心的連線垂直平面且經過外心,根據這個*質可以得到外接球的半徑.
詳解:為等腰直角三角形,三稜錐體積最大時,球心在過的中點且垂直於平面的直線上,為該直線與球面的交點,此時高,
故體積,解得,
故.選D.
點睛:為了求得外接球的內接三稜錐的體積的最大值,我們需選擇合適的變數構建體積的函式關係式,因本題中三稜錐的底面三角形確定,頂點在球面上變化,故高最大時體積最大.
知識點:球面上的幾何
題型:選擇題
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