在三稜錐中，，二面角的餘弦值為，當三稜錐的體積的最大值為時，其外接球的表面積為（  ）A．          ...

問題詳情：

在三稜錐中，，二面角的餘弦值為，當三稜錐的體積的最大值為時，其外接球的表面積為（   ）

A．                        B．                       C．                        D．

【回答】

B

【分析】

根據兩個*影，結合球的圖形，可知二面角的平面角為；根據題意可知當，時，三稜錐的體積最大．根據體積的最大值可求得BC的長，結合圖形即可求得球的半徑，進而求得表面積．

【詳解】

如圖，設球心在平面內的*影為，在平面內的*影為，

則二面角的平面角為，

點在截面圓上運動，點在截面圓上運動，

由圖知，當，時，三稜錐的體積最大，此時與是等邊三角形，

設，則，

，

，

，

解得，所以，

，，設，

則，

解得，

∴，

球的半徑，

所求外接球的表面積為，

故選B.

【點睛】

本題考查了三稜錐外接球的綜合應用，根據空間幾何關係求得球的半徑，進而求得表面積，對空間想象能力要求較高，屬於難題．

知識點：空間幾何體

題型：選擇題