如圖所示，在四稜錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°...

問題詳情：

如圖所示，在四稜錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，

∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中點.

(1)*：CD⊥平面PAE；

(2)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，

求四稜錐P－ABCD的體積.

【回答】

解：方法一　(1)*　如圖，連線AC.由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°

得AC＝5.[1分]又AD＝5，E是CD的中點，所以CD⊥AE. [2分]

因為PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD. [4分]

而PA，AE是平面PAE內的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE. [5分]

(2)過點B作BG∥CD，分別與AE，AD相交於點F，G，連線PF.

由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.

於是∠BPF為直線PB與平面PAE所成的角，且BG⊥AE.  [6分]

由PA⊥平面ABCD知，∠PBA為直線PB與平面ABCD所成的角.     [7分]

由題意得∠PBA＝∠BPF，

因為sin∠PBA＝，sin∠BPF＝，所以PA＝BF.

由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC.

又BG∥CD，所以四邊形BCDG是平行四邊形.

故GD＝BC＝3.於是AG＝2.

在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以

BG＝＝2，BF＝＝＝.於是PA＝BF＝.    [10分]

又梯形ABCD的面積為S＝×(5＋3)×4＝16，

所以四稜錐P－ABCD的體積為V＝×S×PA＝×16×＝.      [12分]

方法二　如圖，以A為座標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立

空間直角座標系.設PA＝h，

則A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h).  [2分]

(1)*　易知＝(－4,2,0)，＝(2,4,0)，＝(0,0，h).

因為·＝－8＋8＋0＝0，·＝0， [4分]

所以CD⊥AE，CD⊥AP.

而AP，AE是平面PAE內的兩條相交直線，

所以CD⊥平面PAE.                                     [5分]

(2)由題設和(1)知，，分別是平面PAE，平面ABCD的法向量.       [6分]

而PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，

所以|cos〈，〉|＝|cos〈，〉|，

即＝.                                               [8分]

由(1)知，＝(－4,2,0)，＝(0,0，－h)，

又＝(4,0，－h)，

故＝.解得h＝.        [10分]

又梯形ABCD的面積為S＝×(5＋3)×4＝16，

所以四稜錐P－ABCD的體積為V＝×S×PA＝×16×＝.    [12分]

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題