如圖,正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直,△ABE是等腰直角三角形,AB=AE,FA=...

問題詳情：

如圖,正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直,△ABE是等腰直角三角形,AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°.

(1)求*:EF⊥平面BCE;

(2)設線段CD的中點為P,在直線AE上是否存在一點M,使得PM∥平面BCE?若存在,請指出點M的位置,並*你的結論;若不存在,請說明理由.

【回答】

解:法一　(1)取BE的中點G,連線AG,由題意知EF⊥BE.

由EA=AB知AG⊥BE,所以EF∥AG.

∵平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,BC⊥AB,

∴BC⊥平面ABEF,

∴BC⊥AG.

又∵BC∩BE=B,

∴AG⊥平面BCE,

∴EF⊥平面BCE.

(2)當M為AE中點時有PM∥平面BCE.

取AB的中點N,連線PN、MN,

則MN∥BE,NP∥BC,

所以MN∥平面BCE,NP∥平面BCE.

又MN∩NP=N,所以平面PMN∥平面BCE,

又PM⊂平面PMN且PM⊄平面BCE,

∴PM∥平面BCE.

法二　(1)因為△ABE為等腰直角三角形,AB=AE,所以AE⊥AB.

又平面ABEF⊥平面ABCD,AE⊂平面ABEF,平面ABEF∩平面ABCD=AB,

所以AE⊥平面ABCD.

所以AE⊥AD.

因此,AD,AB,AE兩兩垂直,

以A為座標原點,建立直角座標系Axyz.

設AB=1,則AE=1,B(0,1,0),D(1,0,0),E(0,0,1),C(1,1,0).

因為FA=FE,∠AEF=45°,所以∠AFE=90°,從而,F(0,-,).

所以=(0,-,-),

=(0,-1,1),=(1,0,0).

·=0+-=0,·=0.

所以EF⊥BE,EF⊥BC.

又BC∩BE=B,

所以EF⊥平面BCE.

(2)存在點M,當M為AE中點時,PM∥平面BCE.

M(0,0,),P(1,,0).

從而=(-1,-,),

於是·=(-1,-,)·(0,-,-)=0,

所以PM⊥FE,

又EF⊥平面BCE,直線PM不在平面BCE內,

故PM∥平面BCE.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題