已知多面體ABCDEF中，AB∥CD∥EF，平面ABCD⊥平面ADE，△ADE是以AD為斜邊的等腰直角三角形，...

問題詳情：

已知多面體ABCDEF中，AB∥CD∥EF，平面ABCD⊥平面ADE，△ADE是以AD為斜邊的等腰直角三角形，點G為邊BC的中點，且AD＝AB＝2，CD＝4，EF＝3.

(1)求*：FG⊥平面ABCD；

(2)若∠ADC＝120°，求二面角F－BD－C的大小．

【回答】

解：(1)取線段AD的中點H，在等腰直角三角形ADE中有EH⊥AD.

又平面ADE⊥平面ABCD，∴EH⊥平面ABCD，

連線GH，由於AB∥CD∥EF，且AB＝2，CD＝4，

∴在梯形ABCD中，HG∥AB且HG＝3，∴HG∥EF.

又HG＝EF，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∴FG∥EH且FG＝EH，∴FG⊥平面ABCD.

(2)建立如圖所示的空間直角座標系，A(1,0,0)，D(－1,0,0)，E(0,0,1)，B(0，，0)，

∵HG＝3，∠DHG＝60°，

∴G(－，，0)，

∴F(－，，1)．

由圖可知平面BDC的一個法向量n1＝(0,0,1)．

設平面BDF的法向量n2＝(x，y，z)，則，

∴，

即，

令y＝－1，則x＝，z＝2，

∴平面BDF的一個法向量為n2＝(，－1,2)，

設二面角F－BD－C的大小為θ，

則cosθ＝＝＝.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題