正項數列{an}的前n項和為Sn，滿足an=2﹣1．若對任意的正整數p、q（p≠q），不等式SP+Sq＞kSp...

問題詳情：

正項數列{an}的前n項和為Sn，滿足an=2﹣1．若對任意的正整數p、q（p≠q），不等式SP+Sq＞kSp+q恆成立，則實數k的取值範圍為　   　．

【回答】

　．

【考點】8H：數列遞推式．

【分析】an=2﹣1，可得Sn=，n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1，利用已知可得：an﹣an﹣1=2．利用等差數列的求和公式可得Sn，再利用基本不等式的*質即可得出．

【解答】解：∵an=2﹣1，∴Sn=，

∴n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣，

化為：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，

∵∀n∈N*，an＞0，

∴an﹣an﹣1=2．

n=1時，a1=S1=，解得a1=1．

∴數列{an}是等差數列，首項為1，公差為2．

∴Sn=n+=n2．

∴不等式SP+Sq＞kSp+q化為：k＜，

∵＞，對任意的正整數p、q（p≠q），不等式SP+Sq＞kSp+q恆成立，

∴．

則實數k的取值範圍為．

故*為：．

知識點：數列

題型：填空題