設數列：A：a1，a2，…，an，B：b1，b2，…，bn.已知ai，bj∈{0，1}（i=1，2，…，n；j...

問題詳情：

設數列：A：a1，a2，…，an，B：b1，b2，…，bn.已知ai，bj∈{0，1}（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n），定義n×n數表，其中xij.

（1）若A：1，1，1，0，B：0，1，0，0，寫出X（A，B）；

（2）若A，B是不同的數列，求*：n×n數表X（A，B）滿足“xij=xji（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n；ij）”的充分必要條件為“ak+bk=1（k=1，2，…，n）”；

（3）若數列A與B中的1共有n個，求*：n×n數表X（A，B）中1的個數不大於.

【回答】

（1）；（2）*見解析；（3）*見解析.

【分析】

（1）根據題中給的定義寫出X（A，B）；

（2）可先*充分*，充分*由定義易*；再*必要*，注意分類討論:先分a1=0和a1=1兩類，a1=0較易*，對a1=1再分b1=0和b1=1兩類*，運用xij分析推理可得;

（3）根據數列A與B中的1共有n個，設A中1的個數為p，則A中0的個數為n﹣p，B中1的個數為n﹣p，B中0的個數為p.表示出n×n數表X（A，B）中1的個數，再用不等式*得n×n數表X（A，B）中1的個數不大於.

【詳解】

（1）解：.

（2）*：充分*

若ak+bk=1（k=1，2，…，n），由於xij，xji，

令 A：a1，a2，…，an，由此數列 B：1﹣a1，1﹣a2，…，1﹣an.

由於 ai=bj⇔ai=1﹣aj⇔ai+aj=1⇔aj=1﹣ai⇔aj=bi.

從而有 xij=xji（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n；ij）.

必要*

若xij=xji（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n；ij）.

由於A，B是不同的數列，

設a1=1，b1=0，對任意的正整數k＞1，

①若x1k=xk1=1，可得 a1=bk=1，ak=b1=0，

所以  ak+bk=1.

②若x1k=xk1=0，可得 bk=0，ak=1，

所以ak+bk=1.

同理可* ，b1=1時，有ak+bk=1（k=1，2，…，n）成立.

設a1=1，b1=1，對任意的正整數k＞1，

①若x1k=xk1=1，可得a1=bk=1，ak=b1=1，

所以有ak=bk=1，則A，B是相同的數列，不符合要求.

②若x1k=xk1=0，可得bk=0，ak=0，

所以有ak=bk，則A，B是相同的數列，不符合要求.

同理可* a1=0，b1=0時，A，B是相同的數列，不符合要求.

綜上，有n×n數表X（A，B）滿足“xij=xji”的充分必要條件為“ak+bk=1（k=1，2，…，n）”.

（3）*：由於數列A，B中的1共有n個，設A中1的個數為p，

由此，A中0的個數為n﹣p，B中1的個數為n﹣p，B中0的個數為p.

若 ai=1，則數表X（A，B）的第i行為數列B：b1，b2，…，bn，

若 ai=0，則數表X（A，B）的第i行為數列B：1﹣b1，1﹣b2，…，1﹣bn，

所以 數表X（A，B）中1的個數為.

所以 n×n數表X（A，B）中1的個數不大於.

【點睛】

本題是以數列、矩陣和分段函式為背景的新概念題目，考查學生的理解能力，應用能力，分類討論思想，是一道較難的綜合題.

知識點：數列

題型：解答題