如圖，設A是由個實陣列成的n行n列的數表，其中aij(i，j=1，2，3，…，n)表示位於第i行第j列的實數，...

問題詳情：

如圖，設A是由個實陣列成的n行n列的數表，其中aij (i，j=1，2，3，…，n)表示位於第i行第j列的實數，且aij{1，-1}.記S(n，n)為所有這樣的數表構成的*．對於，記ri (A)為A的第i行各數之積，cj (A)為A的第j列各數之積．令

（Ⅰ）請寫出一個AS(4，4)，使得l(A)=0；

（Ⅱ）是否存在AS(9，9)，使得l(A)=0？說明理由；

（Ⅲ）給定正整數n，對於所有的AS(n，n)，求l(A)的取值*．

【回答】

（Ⅰ）*見解析；（Ⅱ）不存在，理由見解析；（Ⅲ）

【分析】

（Ⅰ）可取第一行都為-1，其餘的都取1，即滿足題意；

（Ⅱ）用反*法*：假設存在，得出矛盾，從而*結論；

（Ⅲ）通過分析正確得出l(A)的表示式，以及從A0如何得到A1，A2……，以此類推可得到Ak．

【詳解】

（Ⅰ）*不唯一，如圖所示數表符合要求.

（Ⅱ）不存在AS(9，9)，使得l(A)=0，*如下:

假如存在，使得.

因為，，

所以，，...，，，，...，這18個數中有9個1，9個-1.

令.

一方面，由於這18個數中有9個1，9個-1，從而①，

另一方面，表示數表中所有元素之積（記這81個實數之積為m）；

也表示m，從而②，

①，②相矛盾，從而不存在，使得.

（Ⅲ）記這個實數之積為p.

一方面，從“行”的角度看，有；

另一方面，從“列”的角度看，有；

從而有③，

注意到，，

下面考慮，，...，，，，...，中-1的個數，

由③知，上述2n個實數中，-1的個數一定為偶數，該偶數記為，則1的個數為2n-2k，

所以，

對數表，顯然.

將數表中的由1變為-1，得到數表，顯然，

將數表中的由1變為-1，得到數表，顯然，

依此類推，將數表中的由1變為-1，得到數表，

即數表滿足：，其餘，

所以，，

所以，

由k的任意*知，l（A）的取值*為.

【點睛】

本題為數列的創新應用題，考查數學分析與思考能力及推理求解能力，解題關鍵是讀懂題意，根據引入的概念與*質進行推理求解，屬於較難題.

知識點：數列

題型：解答題