已知三稜錐的所有稜長都是,四個頂點、、、都在球的球面上,記球的表面積是,過稜的平面被球截得的截面面積的最小值為...
問題詳情:
已知三稜錐的所有稜長都是,四個頂點、、、都在球的球面上,記球的表面積是,過稜的平面被球截得的截面面積的最小值為,則的值為__________.
【回答】
【分析】
求出三稜錐的外接球的半徑,可求出的值,結合球的幾何*質可知,當為截面圓的直徑時,過稜的平面被球截得的截面面積最小,可求得的值,由此可求得的值.
【詳解】
由題意知,三稜錐是正三稜錐,取的中點,連線,如圖所示:
設點在底面內的投影是,球的半徑為,
由於是邊長為的等邊三角形,則,
,,
所以,解得,
所以球的表面積是.
易知當稜是截面圓的直徑時,過稜的平面被球截得的截面面積取最小值,所以.
故*為:.
【點睛】
本題考查正三稜錐的外接球表面積的計算,同時也考查了球的截面圓面積的計算,考查計算能力,屬於中等題.
知識點:空間幾何體
題型:填空題
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