如圖,已知∠XOY=60°,點A在邊OX上,OA=2.過點A作AC⊥OY於點C,以AC為一邊在∠XOY內作等邊...
問題詳情:
如圖,已知∠XOY=60°,點A在邊OX上,OA=2.過點A作AC⊥OY於點C,以AC為一邊在∠XOY內作等邊三角形ABC,點P是△ABC圍成的區域(包括各邊)內的一點,過點P作PD∥OY交OX於點D,作PE∥OX交OY於點E.設OD=a,OE=b,則a+2b的取值範圍是_____.
【回答】
2≤a+2b≤5.
【解析】
【分析】
作輔助線,構建30度的直角三角形,先*四邊形EODP是平行四邊形,得EP=OD=a,在Rt△HEP中,∠EPH=30°,可得EH的長,計算a+2b=2OH,確認OH最大和最小值的位置,可得結論.
【詳解】
解:過P作PH⊥OY交於點H,
∵PD∥OY,PE∥OX,
∴四邊形EODP是平行四邊形,∠HEP=∠XOY=60°,
∴EP=OD=a,
Rt△HEP中,∠EPH=30°,
∴EH=EP=a,
∴a+2b=2(a+b)=2(EH+EO)=2OH,
當P在AC邊上時,H與C重合,此時OH的最小值=OC=OA=1,即a+2b的最小值是2;
當P在點B時,OH的最大值是:1+=,即(a+2b)的最大值是5,
∴2≤a+2b≤5.
故*為:2≤a+2b≤5
【點睛】
本題考查了等邊三角形的*質、直角三角形30度角的*質、平行四邊形的判定和*質,有難度,掌握確認a+2b的最值就是確認OH最值的範圍.
知識點:等腰三角形
題型:填空題
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