如圖,C為∠AOB的邊OA上一點,OC=6,N為邊OB上異於點O的一動點,P是線段CN上一點,過點P分別作PQ...
問題詳情:
如圖,C為∠AOB的邊OA上一點,OC=6,N為邊OB上異於點O的一動點,P是線段CN上一點,過點P分別作PQ∥OA交OB於點Q,PM∥OB交OA於點M.
(1)若∠AOB=60º,OM=4,OQ=1,求*:CN⊥OB.
(2)當點N在邊OB上運動時,四邊形OMPQ始終保持為菱形.
①問:-的值是否發生變化?如果變化,求出其取值範圍;如果不變,請說明理由.
②設菱形OMPQ的面積為S1,△NOC的面積為S2,求的取值範圍.
【回答】
解:(1)過P作PE⊥OA於E,
∵PQ∥OA,PM∥OB,
∴四邊形OMPQ為平行四邊形,
∴PM=OQ=1,∠PME=∠AOB=60°,
∴PE=PM•sin60°=,ME=,
∴CE=OC﹣OM﹣ME=,
∴tan∠PCE==,
∴∠PCE=30°,
∴∠CPM=90°,
又∵PM∥OB,
∴∠CNO=∠CPM=90°,
則CN⊥OB;
(2)①﹣的值不發生變化,理由如下:
設OM=x,ON=y,
∵四邊形OMPQ為菱形,
∴OQ=QP=OM=x,NQ=y﹣x,
∵PQ∥OA,
∴∠NQP=∠O,
又∵∠QNP=∠ONC,
∴△NQP∽△NOC,
∴=,即=,
∴6y﹣6x=xy.兩邊都除以6xy,得﹣=,即﹣=.
②過P作PE⊥OA於E,過N作NF⊥OA於F,
則S1=OM•PE,S2=OC•NF,
∴=.
∵PM∥OB,
∴∠PMC=∠O,
又∵∠PCM=∠NCO,
∴△CPM∽△CNO,
∴==,
∴==﹣(x﹣3)2+,
∵0<x<6,
則根據二次函式的圖象可知,0<≤.
知識點:相似三角形
題型:綜合題
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