如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作*線OC，使∠AOC=60°．將一把直角三角尺的直角頂點放在點O處，一邊...

問題詳情：

如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作*線OC，使∠AOC=60°．將一把直角三角尺的直角頂點放在點O處，一邊OM在*線OB上，另一邊ON在直線AB的下方，其中∠OMN=30°．

（1）將圖1中的三角尺繞點O順時針旋轉至圖2，使一邊OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度數；

（2）將圖1中的三角尺繞點O按每秒10°的速度沿順時針方向旋轉一週，在旋轉的過程中，在第______秒時，邊MN恰好與*線OC平行；在第______秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC．（直接寫出結果）；

（3）將圖1中的三角尺繞點O順時針旋轉至圖3，使ON在∠AOC的內部，請探究∠AOM與∠NOC之間的數量關係，並說明理由．

【回答】

【考點】旋轉的*質．

【分析】（1）根據鄰補角的定義求出∠BOC=120°，再根據角平分線的定義求出∠COM，然後根據∠CON=∠COM+90°解答；

（2）分別分兩種情況根據平行線的*質和旋轉的*質求出旋轉角，然後除以旋轉速度即可得解；

（3）用∠AOM和∠CON表示出∠AON，然後列出方程整理即可得解．

【解答】解：（1）∵∠AOC=60°，

∴∠BOC=120°，

又∵OM平分∠BOC，

∴∠COM=∠BOC=60°，

∴∠CON=∠COM+90°=150°；

（2）∵∠OMN=30°，

∴∠N=90°﹣30°=60°，

∵∠AOC=60°，

∴當ON在直線AB上時，MN∥OC，

旋轉角為90°或270°，

∵每秒順時針旋轉10°，

∴時間為9或27，

直線ON恰好平分銳角∠AOC時，

旋轉角為90°+30°=120°或270°+30°=300°，

∵每秒順時針旋轉10°，

∴時間為12或30；

故*為：9或27；12或30．

（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，

∴∠AON=90°﹣∠AOM，

∠AON=60°﹣∠NOC，

∴90°﹣∠AOM=60°﹣∠NOC，

∴∠AOM﹣∠NOC=30°，

故∠AOM與∠NOC之間的數量關係為：∠AOM﹣∠NOC=30°．

知識點：圖形的旋轉

題型：綜合題