已知函式f（x）=1+x﹣+﹣+…+，g（x）=1﹣x+﹣+﹣…﹣，設函式F（x）=f（x+3）•g（x﹣4）...

A．

8

B．

9

C．

10

D．

11

考點：

函式的零點與方程根的關係；函式最值的應用．

專題：

計算題；函式的*質及應用．

分析：

可通過導數法求得f（x）與g（x）的零點，從而可得f（x+3）和g（x﹣4）的零點，繼而可求得F（x）的零點均在區間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）的具體區間，從而可求得b﹣a的最小值．

解答：

解：∵f（x）=1+x﹣+﹣+…+，

∴f′（x）=（1﹣x）+（x2﹣x3）+…+x2012

=（1﹣x）（1+x2+x4+…+x2010）+x2012

當x=﹣1時，f′（x）=2×1006+1=2013＞0，

當x≠﹣1時，f′（x）=（1﹣x）（1+x2+x4+…+x2010）+x2012

=（1﹣x）•+x2012

=＞0，

∴f（x）=1+x﹣+﹣+…+在R上單調遞增；

又f（0）=1，

f（﹣1）=﹣﹣﹣﹣…﹣＜0，

∴f（x）=1+x﹣+﹣+…+在（﹣1，0）上有唯一零點，

由﹣1＜x+3＜0得：﹣4＜x＜﹣3，

∴f（x+3）在（﹣4，﹣3）上有唯一零點．

∵g（x）=1﹣x+﹣+﹣…﹣，

∴g′（x）=（﹣1+x）+（﹣x2+x3）+…﹣x2012

=﹣[（1﹣x）+（x2﹣x3）+…+x2012]

=﹣f′（x）＜0，

∴g（x）在R上單調遞減；

又g（1）=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＞0，

g（2）=﹣1+（﹣）+（﹣）+…+（﹣），

∵n≥2時，﹣=＜0，

∴g（2）＜0．

∴g（x）在（1，2）上有唯一零點，

由1＜x﹣4＜2得：5＜x＜6，

∴g（x﹣4）在（5，6）上有唯一零點．

∵函式F（x）=f（x+3）•g（x﹣4），

∴F（x）的零點即為f（x+3）和g（x﹣4）的零點．

∴F（x）的零點區間為（﹣4，﹣3）∪（5，6）．

又b，a∈Z，

∴（b﹣a）min=6﹣（﹣4）=10．

故選C．

點評：

本題考查函式的零點，考查利用導數判斷函式的單調*及零點存在定理的應用，考查綜合分析與轉化的能力，屬於難題．