如圖1，中，，為底邊上任意一點，點到兩腰的距離分別為、，腰上的高為，連結，則，即，∴（定值）.（1）如圖2，在...

問題詳情：

如圖1，中，，為底邊上任意一點，點到兩腰的距離分別為、，腰上的高為，連結，則，即，∴（定值）.

（1）如圖2，在邊長為3的正方形中，點為對角線上的一點，且，為上一點，於，於，試利用上述結論求出的長；

（2）如圖3，如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”，那麼的位置可以由“在底邊上任一點”放寬為“在三角形內任一點”，試*：已知等邊內任意一點到各邊的距離分別為、、，等邊的高為，則（定值）；

（3）若正邊形，內部任意一點到各邊的距離分別為、、…、，正邊形的外接圓半徑為，請問是否為定值，如果是，請猜測出這個定值，並予以*.

【回答】

(1) ;(2)見解析；（3）是，見解析.

【解析】

（1）連結交於點，由材料可知，問題得解；

（2）利用面積的割補法，得出，而這幾個三角形的底相等，故可得出高的關係；

（3）問題轉化為正n邊形時，根據正n邊形計算面積的方法，可得，從而得到，然後利用三角函式解答即可.

【詳解】

解 （1）連結交於點，

∵是正方形，

∴,.

∵，

∴.

∵，由閱讀材料的結論可得：，

∴.

（2）*：設等邊的邊長為，

據題意可得：，

∴，

∴（定值）.

（3）猜想：（定值）.

*：如圖4，設為正多邊形的任意一邊，其長為，為正多邊形的中心，

於是，

∵，

∴.

∵在中，，，

∴.

∴（定值）.

【點睛】

本題主要利用面積分割法及面積與等積變換，求線段之間的關係，充分體現了面積法解題的作用，題目中涉及到的一題多解也是會考中常見的考點．

知識點：正多邊形和圓

題型：解答題