*質探究如圖(1),在等腰三角形中,,則底邊與腰的長度之比為
問題詳情:
*質探究
如圖(1),在等腰三角形中,,則底邊與腰的長度之比為_________.
理解運用
(1)若頂角為的等腰三角形的周長為,則它的面積為_________;
(2)如圖(2),在四邊形中,.在邊,上分別取中點,連線.若,,求線段的長.
類比拓展
頂角為的等腰三角形的底邊與一腰的長度之比為__________(用含的式子表示)
【回答】
*質探究:(或);理解運用:(1);(2);類比拓展:(或).
【解析】
*質探究
作CD⊥AB於D,則∠ADC=∠BDC=90°,由等腰三角形的*質得出AD=BD,∠A=∠B=30°,由直角三角形的*質得出AC=2CD,AD=CD,得出AB=2AD=2CD,即可得出結果;
理解運用
(1)同上得出則AC=2CD,AD=CD,由等腰三角形的周長得出4CD+2CD=4+2,解得:CD=1,得出AB=2,由三角形面積公式即可得出結果;
(2)①由等腰三角形的*質得出∠EFG=∠EGF,∠EGH=∠EHG,得出∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH即可;
②連線FH,作EP⊥FH於P,由等腰三角形的*質得出PF=PH,由①得:∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°,由四邊形內角和定理求出∠FEH=120°,由等腰三角形的*質得出∠EFH=30°,由直角三角形的*質得出PE=EF=10,PF=PE=10,得出FH=2PF=20,*MN是△FGH的中位線,由三角形中位線定理即可得出結果;
類比拓展
作AD⊥BC於D,由等腰三角形的*質得出BD=CD,∠BAD=∠BAC=α,由三角函式得出BD=AB×sinα,得出BC=2BD=2AB×sinα,即可得出結果.
【詳解】
*質探究
解:作CD⊥AB於D,如圖①所示:
則∠ADC=∠BDC=90°,
∵AC=BC,∠ACB=120°,
∴AD=BD,∠A=∠B=30°,
∴AC=2CD,AD=CD,
∴AB=2AD=2CD,
∴;
故*為:(或);
理解運用
(1)解:如圖①所示:同上得:AC=2CD,AD=CD,
∵AC+BC+AB=4+2,
∴4CD+2CD=4+2,
解得:CD=1,
∴AB=2,
∴△ABC的面積=AB×CD=×2×1=;
故*為:
(2)①*:∵EF=EG=EH,
∴∠EFG=∠EGF,∠EGH=∠EHG,
∴∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH;
②解:連線FH,作EP⊥FH於P,如圖②所示:
則PF=PH,由①得:∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°,
∴∠FEH=360°-120°-120°=120°,
∵EF=EH,
∴∠EFH=30°,
∴PE= EF=10,
∴PF=PE=10,
∴FH=2PF=20,
∵點M、N分別是FG、GH的中點,
∴MN是△FGH的中位線,
∴MN=FH=10;
類比拓展
解:如圖③所示:作AD⊥BC於D,
∵AB=AC,
∴BD=CD,∠BAD=∠BAC=α,
∵,
∴BD=AB×sinα,
∴BC=2BD=2AB×sinα,
∴;
故*為:2sinα(或).
【點睛】
本題是四邊形綜合題目,考查了等腰三角形的*質、直角三角形的*質、三角形中位線定理、四邊形內角和定理、解直角三角形等知識;本題綜合*強,熟練掌握等腰三角形的*質和含30°角的直角三角形的*質是解題的關鍵.
知識點:平行四邊形
題型:綜合題
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