點為正方形的邊上任意一點，在正方形內部做等腰直角．  （1）如圖1，若，則

問題詳情：

點為正方形的邊上任意一點，在正方形內部做等腰直角．

（1）如圖1，若，則_________（請直接寫出*）

（2）作關於的對稱點，連線交於點．

①補全圖形1；

②*：四邊形ECHF為平行四邊形．

（3）在（2）的條件下，連線，請直接寫出和之間的數量關係．

【回答】

（1）；（2）①見解析；②見解析；（3）

【解析】

(1)在中，利用勾股定理求得，再在是等腰直角三角形AEF中利用勾股定理即可求解；

(2)①按照要求補全圖形即可；

②作MN⊥AB，交DC於N，交AB於M，*得△AMF≌△FNE，根據全等三角形的*質*點F在正方形ABCD的線BD上，設法*FH=EC，FH∥EC，從而*結論；

(3)根據②的過程，利用勾股定理*得 ，，從而得到．

【詳解】

(1)∵四邊形ABCD是正方形，AB=6，EC=2， ∴AB=AD=DC=6，∠ADE=90，

在中，AD= 6，DE=DC-EC=6-2=4，

∴，

∵AEF是等腰直角三角形，且∠AFE=90，

∴AF=EF，

∵，即，

∴；

(2)①補全圖形如圖所示：

②如圖，過點F作MN⊥AB，交DC於N，交AB於M，連線BD，

∵AB∥CD，MN⊥AB，∠AFE=90， ∴MN⊥CD， ∴∠AFM+∠EFN=90°，∠AFM +∠FAM=90°， ∴∠EFN =∠FAM，

在△AMF和△FNE中，

， ∴△AMF≌△FNE(AAS)， ∴AM=FN，MF=EN，

∵四邊形ABCD是正方形，且MN⊥AB，

∴∠BAD=∠ADC=∠AMN=90°，

∴四邊形ADNM是矩形，

∴AM=DN，

∴FN=DN，

又MN⊥CD，

∴∠FDN=45°，

∴點F在正方形ABCD的線BD上，

又F、H關於BC對稱，

∴MF=FP=PH=EN，FP⊥BC，

∴四邊形BPFM是正方形，四邊形PCNF是矩形，

∴FP=NC，PC=FN，

∴FH=EC，

∵F、H關於BC對稱，

∴FH⊥BC，

∵DC⊥BC，

∴FH∥EC，

∴四邊形ECHF為平行四邊形；

(3)由②得MF=FP，

∴，

∵AM=DN=FN，

∴，

∴．

【點睛】

本題考查了正方形的*質，全等三角形的判定和*質，等腰直角三角形*質，直角三角形的*質，勾股定理的應用，新增恰當輔助線是本題的關鍵．

知識點：三角形全等的判定

題型：解答題