在菱形中,,點是*線上一動點,以為邊向右側作等邊,點的位置隨點的位置變化而變化.(1)如圖1,當點在菱形內部或...
問題詳情:
在菱形中,,點是*線上一動點,以為邊向右側作等邊,點的位置隨點的位置變化而變化.
(1)如圖1,當點在菱形內部或邊上時,連線,與的數量關係是 ,與的位置關係是 ;
(2)當點在菱形外部時,(1)中的結論是否還成立?若成立,請予以*;若不成立,
請說明理由(選擇圖2,圖3中的一種情況予以*或說理).
(3) 如圖4,當點線上段的延長線上時,連線,若 , ,求四邊形的面積.
【回答】
(1)BP=CE; CE⊥AD;(2)成立,理由見解析;(3) .
【解析】(1)①連線AC,*△ABP≌△ACE,根據全等三角形的對應邊相等即可*得BP=CE;②根據菱形對角線平分對角可得,再根據△ABP≌△ACE,可得,繼而可推導得出 ,即可*得CE⊥AD;
(2)(1)中的結論:BP=CE,CE⊥AD 仍然成立,利用(1)的方法進行*即可;
(3)連線AC交BD於點O,CE,作EH⊥AP於H,由已知先求得BD=6,再利用勾股定理求出CE的長,AP長,由△APE是等邊三角形,求得, 的長,再根據,進行計算即可得.
【詳解】(1)①BP=CE,理由如下:
連線AC,
∵菱形ABCD,∠ABC=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∵△APE是等邊三角形,
∴AP=AE ,∠PAE=60° ,
∴∠BAP=∠CAE,
∴△ABP≌△ACE,∴BP=CE;
②CE⊥AD ,
∵菱形對角線平分對角,
∴,
∵△ABP≌△ACE,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴ ,
∴CF⊥AD ,即CE⊥AD;
(2)(1)中的結論:BP=CE,CE⊥AD 仍然成立,理由如下:
連線AC,
∵菱形ABCD,∠ABC=60°,
∴△ABC和△ACD都是等邊三角形,
∴AB=AC,∠BAD=120° ,
∠BAP=120°+∠DAP,
∵△APE是等邊三角形,
∴AP=AE , ∠PAE=60° ,
∴∠CAE=60°+60°+∠DAP=120°+∠DAP,
∴∠BAP=∠CAE,
∴△ABP≌△ACE,∴BP=CE,,
∴∠DCE=30° ,∵∠ADC=60°,
∴∠DCE+∠ADC=90° , ∴∠CHD=90° ,∴CE⊥AD,
∴(1)中的結論:BP=CE,CE⊥AD 仍然成立;
(3) 連線AC交BD於點O,CE,作EH⊥AP於H,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,BD平分∠ABC ,
∵∠ABC=60°,,
∴∠ABO=30° ,∴ , BO=DO=3,
∴BD=6,
由(2)知CE⊥AD,
∵AD∥BC,∴CE⊥BC,
∵ , ,
∴,
由(2)知BP=CE=8,∴DP=2,∴OP=5,
∴,
∵△APE是等邊三角形,∴ , ,
∵,
∴,
=
=
=,
∴四邊形ADPE的面積是 .
【點睛】本題考查了菱形的*質,全等三角形的判定與*質,等邊三角形判定與*質等,熟練掌握相關知識,正確新增輔助線是解題的關鍵.
知識點:三角形全等的判定
題型:解答題
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