如圖:AB是⊙O的直徑,AC交⊙O於G,E是AG上一點,D為△BCE內心,BE交AD於F,且∠DBE=∠BAD...
問題詳情:
如圖:AB是⊙O的直徑,AC交⊙O於G,E是AG上一點,D為△BCE內心,BE交AD於F,且∠DBE=∠BAD.
(1)求*:BC是⊙O的切線;
(2)求*:DF=DG;
(3)若∠ADG=45°,DF=1,則有兩個結論:①AD•BD的值不變;②AD+BD的值不變,其中有且只有一個結論正確,請選擇正確的結論,*並求其值.
【回答】
【解答】(1)*:∵D為△BCE內心,
∴∠DBC=∠DBE,
∵∠DBE=∠BAD.
∴∠DBC=∠BAD,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠DBC+∠ABD=90°,即∠ABC=90°,
∴AB⊥BC,
∴BC是⊙O的切線;
(2)*:如圖1,連線DE,
∵∠DBC=∠BAD,∠DBC=∠DBE,
∴∠DBE=∠BAD,
∴∠ABF+∠BAD=∠ABF+∠DBE,
∴∠BFD=∠ABD,
∵∠DGC=∠ABD,
∴∠BFD=∠DGC,
∴∠DFE=∠DGE,
∵D為△BCE內心,
∴∠DEG=∠DEB,
在△DEF和△DEG中
∴△DEF≌△DEG(AAS),
∴DF=DG;
(3)解:①AD﹣BD的值不變;
如圖2,在AD上擷取DH=BD,連線AH、BG,
∵AB是直徑,
∴∠ADB=∠AGB=90°,
∵∠ADG=45°,
∴∠ABG=∠ADG=45°,
∴AB=BG,
∵∠BDH=90°,BD=DH,
∴∠BHD=45°,
∴∠AHB=180°﹣45°=135°,
∵∠BDG=∠ADB+∠ADG=90°+45°=135°,
∴∠AHB=∠BDG,
∵∠BAD=∠BGD,
∴△ABH∽△GBD,
∴==,
∵DG=1,
∴AH=,
∵AD﹣BD=AD﹣DH=AH,
∴AD﹣BD=.
知識點:相似三角形
題型:綜合題
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