已知橢圓的中心在座標原點，焦點在軸上，左頂點為，左焦點為，點在橢圓上，直線與橢圓交於兩點，直線，分別與軸交於點...

問題詳情：

已知橢圓的中心在座標原點，焦點在軸上，左頂點為，左焦點為，點在橢圓上，直線與橢圓交於兩點，直線，分別與軸交於點．

（1）求橢圓的方程；

（2）在軸上是否存在點，使得無論非零實數怎樣變化，總有為直角？若存在，求出點的座標；若不存在，請說明理由．

【回答】

解：（1）設橢圓的方程為，因為橢圓的左焦點為，所以，

設橢圓的右焦點為，已知點在橢圓上，

由橢圓的定義知，所以，

所以，從而，所以橢圓的方程為． ………………4分

（2）因為橢圓的左頂點為，則點的座標為，

因為直線與橢圓交於兩點，，

設點（不妨設），則點，

聯立方程組，消去得，所以，，………………6分

所以直線的方程為，因為直線與軸交於點，

令得，即點，

同理可得點． ………………10分

假設在軸上存在點，使得為直角，則，

即，即． 解得或．

故存在點或，無論非零實數怎樣變化，總有為直角．……………………12分

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題