如圖,是的直徑,半徑,垂足為O,直線l為的切線,A是切點,D是上一點,的延長線交直線l於點是上一點,的延長線交...
問題詳情:
如圖,是的直徑,半徑,垂足為O,直線l為的切線,A是切點,D是上一點,的延長線交直線l於點是上一點,的延長線交於點G,連線,已知的半徑為3,,.
(1)求的長;
(2)求的值及的長.
【回答】
(1)AE=2;(2)CG=,cos∠CAG=
【解析】
(1)過點E作EH⊥OC,交OC的延長線於點H,*四邊形AOHE是矩形得到EH=OA=3,求得,即可得到AE;
(2)先*△ADE∽△OCD求得AD=1.2,OD=1.8,根據求得BF=2,CF=,連線BG,*△AFC∽△GFB,得到,求得,即可得到CG=CF+GF=,設CO延長線交於點N,連線GN,則∠CNG=∠CAG,在Rt△CGN中,求得NG=,即可得到cos∠CAG=cos∠CNG=.
【詳解】
(1)過點E作EH⊥OC,交OC的延長線於點H,
∵直線l為的切線,A是切點,
∴OA⊥AE,
∵OC⊥AB,
∴∠EHO=∠OAE=∠AOH=90°,
∴四邊形AOHE是矩形,
∴EH=OA=3,AE=OH,
∵,
∴,
∴AE=OH=CH-OC=2;
(2)∵∠OAE=∠AOC=90°,
∴OC∥AE,
∴△ADE∽△OCD,
∴,
∴AD=1.2,OD=1.8,
∵,
∴BF=2,
∴OF=1,
∴AF=4,CF=,
連線BG,
∵∠ACF=∠B,∠AFC=∠GFB,
∴△AFC∽△GFB,
∴,
∴,
∴,
∴CG=CF+GF=,
設CO延長線交於點N,連線GN,則∠CNG=∠CAG,
在Rt△CGN中,∠CGN=90°,CN=6,CG=,
∴NG=,
∴cos∠CAG=cos∠CNG=.
【點睛】
此題考查矩形的判定定理及*質定理,勾股定理,圓切線的*質定理,圓周角定理,相似三角形的判定及*質,銳角三角函式解直角三角形,熟記各定理並熟練運用解題,正確連線輔助線是解此題的關鍵.
知識點:相似三角形
題型:綜合題
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