已知雙曲線的焦點在x軸上，離心率為2，F1，F2為左、右焦點，P為雙曲線上一點，且∠F1PF2＝60°，S△P...

問題詳情：

已知雙曲線的焦點在x軸上，離心率為2，F1，F2為左、右焦點，P為雙曲線上一點，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12 ，求雙曲線的標準方程．

【回答】

解　

如圖所示，設雙曲線方程為＝1 (a>0，b>0)．

∵e＝＝2，∴c＝2a.

由雙曲線的定義，

得||PF1|－|PF2||＝2a＝c，

在△PF1F2中，由余弦定理，得：

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°

＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos 60°)，

即4c2＝c2＋|PF1||PF2|.①

又S△PF1F2＝12，

∴|PF1||PF2|sin 60°＝12，

即|PF1||PF2|＝48.②

由①②，得c2＝16，c＝4，則a＝2，b2＝c2－a2＝12，

∴所求的雙曲線方程為＝1.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題