如圖,等腰三角形ABC中,AC=BC=10,AB=12,以BC為直徑作⊙O交AB於點D,交AC於點G,DF⊥A...
問題詳情:
如圖,等腰三角形ABC中,AC=BC=10,AB=12,以BC為直徑作⊙O交AB於點D,交AC於點G,DF⊥AC,垂足為F,交CB的延長線於點E.
(1)求*:直線EF是⊙O的切線;
(2)求cos∠E的值.
【回答】
【考點】切線的判定;勾股定理.
【專題】*題.
【分析】(1)求*直線EF是⊙O的切線,只要連線OD*OD⊥EF即可;
(2)根據∠E=∠CBG,可以把求cos∠E的值得問題轉化為求cos∠CBG,進而轉化為求Rt△BCG中,兩邊的比的問題.
【解答】(1)*:如圖,
方法1:連線OD、CD.
∵BC是直徑,
∴CD⊥AB.
∵AC=BC.
∴D是AB的中點.
∵O為CB的中點,
∴OD∥AC.
∵DF⊥AC,
∴OD⊥EF.
∴EF是O的切線.
方法2:∵AC=BC,
∴∠A=∠ABC,
∵OB=OD,
∴∠DBO=∠BDO,
∵∠A+∠ADF=90°
∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90°.
即∠EDO=90°,
∴OD⊥ED
∴EF是O的切線.
(2)解:連BG.
∵BC是直徑,
∴∠BDC=90°.
∴CD==8.
∵AB•CD=2S△ABC=AC•BG,
∴BG==.
∴CG==.
∵BG⊥AC,DF⊥AC,
∴BG∥EF.
∴∠E=∠CBG,
∴cos∠E=cos∠CBG==.
【點評】本題考查的是切線的判定,要*某線是圓的切線,已知此線過圓上某點,連線圓心和這點(即為半徑),再*垂直即可.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題
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