已知函数f（x）=﹣4cos2x+4asinxcosx+2，若f（x）的图象关于点（，0）对称．（1）求实数a...

问题详情：

已知函数f（x）=﹣4cos2x+4asinxcosx+2，若f（x）的图象关于点（，0）对称．

（1）求实数a，并求出f（x）的单调减区间；

（2）求f（x）的最小正周期，并求f（x）在[﹣，]上的值域．

【回答】

【解答】解：（1）∵函数f（x）=﹣4cos2x+4asinxcosx+2=2asin2x﹣2cos2x，

∵f（x）的图象关于点（，0）对称．

∴a﹣=0，

解得：a=1，

∴函数f（x）=2sin2x﹣2cos2x=4sin（2x﹣），

由2x﹣∈[+2kπ，+2kπ]，k∈Z得：

x∈[+kπ，+kπ]，k∈Z，

故f（x）的单调减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z；

（2）由（1）中函数解析式可得ω=2，

故T=π，

当x∈[﹣，]时，2x﹣∈[﹣，]，

当2x﹣=﹣，即x=﹣时，函数取最小值﹣4，

当2x﹣=，即x=时，函数取最大值2，

故f（x）在[﹣，]上的值域为[﹣4，2]．

知识点：三角恒等变换

题型：解答题