设函数f(x)为R上的奇函数,已知当x>0时,f(x)=﹣(x+1)2.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)若...
问题详情:
设函数f(x)为R上的奇函数,已知当x>0时,f(x)=﹣(x+1)2.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若f(m2+2m)+f(m)>0,求m的取值范围.
【回答】
【解答】解:(Ⅰ)∵函数f(x)为R上的奇函数,
∴f(0)=0,
若x<0,则﹣x>0,
∵当x>0时,f(x)=﹣(x+1)2.
∴当﹣x>0时,f(﹣x)=﹣(﹣x+1)2=﹣(x﹣1)2.
∵f(x)是奇函数,
∴f(﹣x)=﹣(x﹣1)2=﹣f(x),
则f(x)=(x﹣1)2,x<0,
则函数f(x)的解析式f(x)=;
(Ⅱ)若f(m2+2m)+f(m)>0,
则f(m2+2m)>﹣f(m)=f(﹣m),
当x>0时,f(x)=﹣(x+1)2为减函数,且f(x)<﹣1<f(0),
当x<0时,f(x)=(x﹣1)2为减函数,且f(x)>1>f(0),
则函数f(x)在R上是减函数,
则m2+2m<﹣m,
即m2+3m<0,
则﹣3<m<0,
即m的取值范围是(﹣3,0).
知识点:*与函数的概念
题型:解答题
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