已知函数f(x)=a(|sinx|+|cosx|)﹣sin2x﹣1,若f()=﹣.(1)求a的值,并写出函数f...
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已知函数f(x)=a(|sinx|+|cosx|)﹣sin2x﹣1,若f()=﹣.
(1)求a的值,并写出函数f(x)的最小正周期(不需*);
(2)是否存在正整数k,使得函数f(x)在区间[0,kπ]内恰有2017个零点?若存在,求出k的值,若不存在,请说明理由.
【回答】
【解答】解:(1)函数f(x)=a(|sinx|+|cosx|)﹣sin2x﹣1,
∵f()=﹣.
∴a(sin+cos)﹣sin﹣1=﹣.
解得:a=1,
函数f(x)的最小正周期T=π,
(2)存在n=504,满足题意:
理由如下:
当时,,
设t=sinx+cosx,则 ,sin2x=t2﹣1,
则,可得 t=1或,
由t=sinx+cosx图象可知,x在上有4个零点满足题意.
当时,,t=sinx﹣cosx,
则 ,sin2x=1﹣t2,
,,t=1或,
∵,
∴x在上不存在零点.
综上讨论知:函数f(x)在[0,π)上有4个零点,而2017=4×504+1,
因此函数在[0,504π]有2017个零点,所以存在正整数k=504满足题意.
知识点:三角函数
题型:解答题
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