已知函数f(x)=4tanxsin(﹣x)cos(x﹣)﹣.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f...
问题详情:
已知函数f(x)=4tanxsin(﹣x)cos(x﹣)﹣.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间[﹣,]上的单调*.
【回答】
【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用;H2:正弦函数的图象.
【分析】(1)利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式,结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可.
(2)利用三角函数的单调*进行求解即可.
【解答】解:(1)∵f(x)=4tanxsin(﹣x)cos(x﹣)﹣.
∴x≠kπ+,即函数的定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z},
则f(x)=4tanxcosx•(cosx+sinx)﹣
=4sinx(cosx+sinx)﹣
=2sinxcosx+2sin2x﹣
=sin2x+(1﹣cos2x)﹣
=sin2x﹣cos2x
=2sin(2x﹣),
则函数的周期T=;
(2)由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,k∈Z,
得kπ﹣≤x≤kπ+,k∈Z,即函数的增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈Z,
当k=0时,增区间为[﹣,],k∈Z,
∵x∈[﹣,],∴此时x∈[﹣,],
由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+,k∈Z,
得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,即函数的减区间为[kπ+,kπ+],k∈Z,
当k=﹣1时,减区间为[﹣,﹣],k∈Z,
∵x∈[﹣,],∴此时x∈[﹣,﹣],
即在区间[﹣,]上,函数的减区间为∈[﹣,﹣],增区间为[﹣,].
知识点:三角恒等变换
题型:解答题
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