已知∠ACD=90°,AC=DC,MN是過點A的直線,過點D作DB⊥MN於點B,連線CB.(1)問題發現如圖(...
問題詳情:
已知∠ACD=90°,AC=DC,MN是過點A的直線,過點D作DB⊥MN於點B,連線CB.
(1)問題發現 如圖(1),過點C作CE⊥CB,與MN交於點E,則易發現BD和EA之間的數量關係為________,BD、AB、CB之間的數量關係為________.
(2)拓展探究 當MN繞點A旋轉到如圖(2)位置時,BD、AB、CB之間滿足怎樣的數量關係?請寫出你的猜想,並給予*.
(3)解決問題 當MN繞點A旋轉到如圖(3)位置時(點C、D在直線MN兩側),若此時∠BCD=30°,BD=2時,CB=________.
【回答】
(1)BD=AE;BD+AB= CB (2)解:*:如圖2,過點C作⊥CB交MN於點E, ∵∠ACD=90°, ∴∠ACE=90°+∠ACB,∠BCD=90°+∠ACB, ∴∠ACE=∠BCD, ∵DB⊥MN, ∴∠CAE=90°﹣∠AFB,∠D=90°﹣∠CFD, ∵∠AFB=∠CFD, ∴∠CAE=∠D, ∵AC=DC, ∴△ACE≌△DCB, ∴AE=DB,CE=CB, ∵∠ECB=90°, ∴△ECB是等腰直角三角形, ∴BE= CB, ∴BE=AE﹣AB=DB﹣AB, ∴BD﹣AB= CB; (3)﹣ 【考點】全等三角形的判定與*質,等腰三角形的判定與*質,勾股定理,解直角三角形,旋轉的*質 【解析】【解答】解:(1)如圖1,過點C作⊥CB交MN於點E, ∵∠ACD=90°, ∴∠ACE=90°﹣∠ACB,∠BCD=90°﹣∠ACB, ∴∠ACE=∠BCD, ∵DB⊥MN, ∴在四邊形ACDB中,∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D=360°, ∴∠BAC+∠D=180°, ∵∠CE+∠BAC=180°, ∠CAE=∠D, ∵AC=DC, ∴△ACE≌△DCB, ∴AE=DB,CE=CB, ∵∠ECB=90°, ∴△ECB是等腰直角三角形, ∴BE= CB, ∴BE=AE+AB=DB+AB, ∴BD+AB= CB; 故*為:BD=AE,BD+AB= CB;(3)如圖3,過點C作⊥CB交MN於點E, (3)∵∠ACD=90°, ∴∠ACE=90°﹣∠DCE, ∠BCD=90°﹣∠DCE, ∴∠ACE=∠BCD, ∵DB⊥MN, ∴∠CAE=90°﹣∠AFC,∠D=90°﹣∠CFD, ∵∠AFB=∠BFD, ∴∠CAE=∠D, ∵AC=DC, ∴△ACE≌△DCB, ∴AE=DB,CE=CB, ∵∠ECB=90°, ∴△ECB是等腰直角三角形, ∴BE= CB, ∴BE=AB﹣AE=AB﹣DB, ∴AB﹣DB= CB; ∵△BCE為等腰直角三角形, ∴∠BEC=∠CBE=45°, ∵∠ABD=90°, ∴∠DBH=45° 過點D作DH⊥BC, ∴△DHB是等腰直角三角形, ∴BD= BH=2, ∴BH=DH= , 在Rt△CDH中,∠BCD=30°,DH= , ∴CH= DH= × = , ∴BC=CH﹣BH= ﹣ ; 故*為: ﹣ . 【分析】(1)過點C作⊥CB交MN於點E,易*得∠ACE=∠BCD,根據四邊形的內角和定理及同角的補角相等,得出∠CAE=∠D,就可以*得ACE≌△DCB,根據全等三角形的*質得出BD=AE,從而得到△ECB是等腰直角三角形,即可得到BD、AB、CB之間的數量關係。 (2)過點C作⊥CB交MN於點E,先*△ACE≌△DCB,得出AE=DB,CE=CB,由∠ECB=90°,得出△ECB是等腰直角三角形,根據勾股定理易*得結論。 (3)先*△ACE≌△DCB,再*△ECB是等腰直角三角形,△BCE為等腰直角三角形,求得BH、DH的長,在Rt△CDH中,根據勾股定理求出CH、BC的長即可。
知識點:勾股定理
題型:解答題
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