如圖，在正方形ABCD中，AB＝6，M是對角線BD上的一個動點（0＜DM＜BD），連線AM，過點M作MN⊥AM...

問題詳情：

如圖，在正方形ABCD中，AB＝6，M是對角線BD上的一個動點（0＜DM＜BD），連線AM，過點M作MN⊥AM交BC於點N．

（1）如圖①，求*：MA＝MN；

（2）如圖②，連線AN，O為AN的中點，MO的延長線交邊AB於點P，當時，求AN和PM的長；

（3）如圖③，過點N作NH⊥BD於H，當AM＝2時，求△HMN的面積．

【回答】

（1）*：過點M作MF⊥AB於F，作MG⊥BC於G，如圖①所示：

∴∠AFM＝∠MFB＝∠BGM＝∠NGM＝90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝∠DAB＝90°，AD＝AB，∠ABD＝∠DBC＝45°，

∵MF⊥AB，MG⊥BC，

∴MF＝MG，

∵∠ABC＝90°，

∴四邊形FBGM是正方形，

∴∠FMG＝90°，

∴∠FMN+∠NMG＝90°，

∵MN⊥AM，

∴∠AMF+∠FMN＝90°，

∴∠AMF＝∠NMG，

在△AMF和△NMG中，，

∴△AMF≌△NMG（ASA），

∴MA＝MN；

（2）解：在Rt△AMN中，由（1）知：MA＝MN，

∴∠MAN＝45°，

∵∠DBC＝45°，

∴∠MAN＝∠DBC，

∴Rt△AMN∽Rt△BCD，

∴＝（）2，

在Rt△ABD中，AB＝AD＝6，

∴BD＝6，

∵，

∴＝，

解得：AN＝2，

∴在Rt△ABN中，BN＝＝＝4，

∵在Rt△AMN中，MA＝MN，O是AN的中點，

∴OM＝OA＝ON＝AN＝，OM⊥AN，

∴∠AOP＝90°，

∴∠AOP＝∠ABN，

∵∠PAO＝∠NAB，

∴△PAO∽△NAB，

∴＝，即：＝，

解得：OP＝，

∴PM＝OM+OP＝+＝；

（3）解：過點A作AF⊥BD於F，如圖③所示：

∴∠AFM＝90°，

∴∠FAM+∠AMF＝90°，

∵MN⊥AM，

∴∠AMN＝90°，

∴∠AMF+∠HMN＝90°，

∴∠FAM＝∠HMN，

∵NH⊥BD，

∴∠AFM＝∠MHN＝90°，

在△AFM和△MHN中，，

∴△AFM≌△MHN（AAS），

∴AF＝MH，

在等腰直角△ABD中，∵AF⊥BD，

∴AF＝BD＝×6＝3，

∴MH＝3，

∵AM＝2，

∴MN＝2，

∴HN＝＝＝，

∴S△HMN＝MH•HN＝×3×＝3，

∴△HMN的面積為3．

知識點：各地會考

題型：綜合題