如圖，已知AB=AC，直線m經過點A，點D，E是直線m上的兩個動點，連線BD，CE．（1）如圖①，若∠BAC=...

問題詳情：

如圖，已知AB=AC，直線m經過點A，點D，E是直線m上的兩個動點，連線BD，CE．

（1）如圖①，若∠BAC=90°，BD⊥DE，CE⊥DE，求*：DE=BD+CE；

（2）如圖②，若∠BAC=∠BDA=∠AEC，則（1）中的結論DE=BD+CE還成立嗎？請說明理由；

（3）如圖③，在（2）的條件下，點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，試判定△DEF的形狀，並說明理由．

【回答】

（1）*見解析；（2）成立，*見解析；（3）△DFE是等邊三角形，*見解析．

【解析】

【分析】

（1）根據條件可以得出∠DAB=∠ACE，就可以得出△ADB≌△CEA就可以得出BD=AE，AD=CE即可得出結論； （2）根據三角形的內角和定理就可以得出∠DAB=∠ACE，就可以得出△ADB≌△CEA，就可以得出結論； （3）由等邊三角形的*質就可以得出∠BAC=120°，就可以得出△FDB≌△FEA，就可以得出DF=EF，∠DFB=∠EFA而得出結論．

【詳解】

解：（1）∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90° ∵BD⊥AD， ∴∠BDA=90°， ∴∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠DBA=∠CAE；　　　　　　　  ∵CE⊥DE， ∴∠CEA=90°， ∴∠ADB=∠CEA． 在△ADB和△CEA中，

 ， ∴△ADB≌△CEA（AAS） ∴AD=CE，BD=AE． ∵DE=DA+AE， ∴DE=BD+CE；

（2）（1）中的結論DE=BD+CE仍然成立．　 理由：∵∠DAB+BAC+∠CAE=180°，∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°， ∴∠DAB+∠BAC+∠CAE=∠CAE+∠ACE+∠AEC． ∵∠BAC=∠AEC， ∴∠DAB=∠ACE． 在△ADB和△CEA中

 ， ∴△ADB≌△CEA（AAS） ∴AD=CE，BD=AE． ∵DE=DA+AE， ∴DE=BD+CE；

（3）△DFE是等邊三角形．　　　 理由：∵△ADB≌△CEA， ∴∠DBA=∠EAC，BD=EA． ∵△ABF和△ACF均為等邊三角形， ∴BF=AB=AF=AC=CF，∠ABF=∠CAF=60°， ∴∠ABF+∠DBA=∠CAF+∠EAC， ∴∠DBF=∠EAF． 在△FDB和△FEA中，

 ， ∴△FDB≌△FEA（SAS）， ∴DF=EF，∠DFB=∠EFA． ∵∠DFB+∠DFA=60°， ∴∠EFA+∠DFA=60°， 即∠DFE=60° ∴△DFE是等邊三角形．

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與*質的運用，等邊三角形的判定與*質的運用，等式的*質的運用，解答時*三角形全等是關鍵．

知識點：等腰三角形

題型：解答題