雙曲線C與橢圓有相同的焦點，直線為C的一條漸近線.  （1）求雙曲線C的方程；  （2）過點P（0，4）的直線...

問題詳情：

雙曲線C與橢圓有相同的焦點，直線為C的一條漸近線.

   （1）求雙曲線C的方程；

   （2）過點P（0，4）的直線l交雙曲線C於A、B兩點，交x軸於Q點（Q點與C的頂點不重合），當時，求Q點的座標.

【回答】

解：（1）設雙曲線方程為  

由橢圓，求得兩焦點為（－2，0），（2，0）

∴對於雙曲線C：c=2，又為雙曲線C的一條漸近線，

∴  解得   ∴雙曲線C的方程為  

（2）解法一：由題意知直線l的斜率k存在且不等於零，

設l的方程：

則

∵

∴

∴

∵A(x1, y1)在雙曲線C上， ∴

∴

∴

同理有：

若16－k2=0，則直線l過頂點，不合題意。

∴16－k2≠0， ∴是二次方程 的兩根

∴  ∴k2=4，此時△>0， ∴k=±2

∴所求Q的座標為（±2，0）

解法二：由題意知直線l的斜率k存在且不等於零。

設l的方程：

∵  ∴Q分的比為。由定比分點座標式得：

  下同解法一

解法三：由題意知直線l的斜率k存在且不等於零。

設l的方程：

∵  ∴

∴

∴  即

將

∵，否則l與漸近線平行 

∴

∴  ∴

解法四：由題意知直線l的斜率k存在且不等於零，

設l的方程：

∵  ∴

∴

同理 

即

又由     消去y，得

當3－k2=0時，則直線l與雙曲線的漸近線平行，不合題意，

由韋達定理有：

代入（*）式得k2=4，k=±2

∴所求Q的點的座標為（±2，0） 

知識點：圓錐曲線與方程

題型：計算題