(1)*作發現:如圖,矩形ABCD中,E是AD的中點,將△ABE沿BE摺疊後得到△GBE,且點G在矩形ABCD...
問題詳情:
(1)*作發現:
如圖,矩形ABCD中,E是AD的中點,將△ABE沿BE摺疊後得到△GBE,且點G在矩形ABCD內部.小明將BG延長交DC於點F,認為GF=DF,你同意嗎?說明理由.
(2)問題解決:
保持(1)中的條件不變,若DC=2DF,求的值;
(3)類比探求:
保持(1)中條件不變,若DC=nDF,求的值.
【回答】
【分析】(1)求簡單的線段相等,可*線段所在的三角形全等,即連線EF,*△EGF≌△EDF即可;
(2)可設DF=x,BC=y;進而可用x表示出DC、AB的長,根據摺疊的*質知AB=BG,即可得到BG的表示式,由(1)*得GF=DF,那麼GF=x,由此可求出BF的表示式,進而可在Rt△BFC中,根據勾股定理求出x、y的比例關係,即可得到的值;
(3)方法同(2).
【解答】解:(1)同意,連線EF,
則根據翻折不變*得,
∠EGF=∠D=90°,EG=AE=ED,EF=EF,
在Rt△EGF和Rt△EDF中,
∴Rt△EGF≌Rt△EDF(HL),
∴GF=DF;
(2)由(1)知,GF=DF,設DF=x,BC=y,則有GF=x,AD=y
∵DC=2DF,
∴CF=x,DC=AB=BG=2x,
∴BF=BG+GF=3x;
在Rt△BCF中,BC2+CF2=BF2,即y2+x2=(3x)2
∴y=2x,
∴;
(3)由(1)知,GF=DF,設DF=x,BC=y,則有GF=x,AD=y
∵DC=nDF,
∴BF=BG+GF=(n+1)x
在Rt△BCF中,BC2+CF2=BF2,即y2+[(n﹣1)x]2=[(n+1)x]2
∴y=2x,
∴或.
【點評】此題考查了矩形的*質、圖形的摺疊變換、全等三角形的判定和*質、勾股定理的應用等重要知識,難度適中.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:填空題
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