已知函式，，,令.（Ⅰ）討論函式的單調*；（Ⅱ）若關於的不等式恆成立，求整數的最小值.

問題詳情：

已知函式，，,令.

（Ⅰ）討論函式的單調*；

（Ⅱ）若關於的不等式恆成立，求整數的最小值.

【回答】

．解：（1）定義域為，

①當時恆成立，在上是增函式.

②當時令

令

增區間： ，減區間：                       

（2）法一：令.

所以.

當時，因為，所以所以在上是遞增函式，

又因為.所以關於的不等式不能恆成立.

當時，.令得，

所以當時，；當時，，

因此函式在是增函式，在是減函式.

故函式的最大值為.

令，因為，，

又因為在上是減函式，所以當時，.

所以整數的最小值為2.                             …… 12分

法二：由恆成立知恆成立，

令，則，

令，因為，，則為增函式.

故存在，使，即，

當時，，為增函式，當時，，為減函式.

所以，

而，所以，所以整數的最小值為2.                        

知識點：導數及其應用

題型：解答題