如圖,是的直徑,點C,點D在上,,與相交於點E,與相切於點A,與延長線相交於點F.(1)求*:.(2)若,,求...
問題詳情:
如圖,是的直徑,點C,點D在上,,與相交於點E,與相切於點A,與延長線相交於點F.
(1)求*:.
(2)若,,求的半徑.
【回答】
(1)見解析;(2)
【解析】
(1)根據圓周角定理得到∠ACB=90°,根據切線*質得到∠BAF=90°,由得出∠CAD=∠CDA,結合∠CDA=∠ABC,*∠CAF=∠CAD,從而*△ACF≌△ACE,即可得到結論;
(2)根據EF求出CE,結合sin∠ABF=sin∠CAD求出AE,再利用勾股定理算出AC,最後根據sin∠ABF=求出AB即可得到半徑.
【詳解】
解:(1)∵AB為圓O直徑,
∴∠ACB=90°,
∵AF與圓O相切,
∴∠BAF=90°=∠CAF+∠CAB,
∴∠CBA+∠CAB=90°,
∵,
∴AC=CD,
∴∠CAD=∠CDA,
又∵∠CDA=∠CBA,
∴∠CDA+∠CAB=∠CAD+∠CAB=90°,
∴∠CAF=∠CAD,又AC=AC,∠ACF=∠ACE=90°,
∴△ACF≌△ACE(ASA),
∴AE=AF;
(2)∵∠ABF=∠ADC=∠CAD,
∴sin∠ABF=sin∠CAD==,
∵△ACF≌△ACE,EF=12,
∴CE=CF=6,
∴=,解得:AE=10,
∴AC==8,
∴sin∠ABF==,
∴AB=,
∴圓O的半徑為.
【點睛】
本題考查了圓周角定理,切線的*質,全等三角形的判定和*質,正弦的定義,知識點較多,有一定難度,解題時要注意多個知識點相結合.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題
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