如圖1所示,在平面直角座標系中,拋物線與軸交於點和點,與軸交於點.(1)求拋物線的表示式;(2)如圖2,將拋物...
問題詳情:
如圖1所示,在平面直角座標系中,拋物線與軸交於點和點,與軸交於點.
(1)求拋物線的表示式;
(2)如圖2,將拋物線先向左平移1個單位,再向下平移3個單位,得到拋物線,若拋物線與拋物線相交於點,連線,,.
①求點的座標;
②判斷的形狀,並說明理由;
(3)在(2)的條件下,拋物線上是否存在點,使得為等腰直角三角形,若存在,求出點的座標;若不存在,請說明理由.
【回答】
(1);(2)①點的座標;②是等腰直角三角形,理由見解析;(3)或.
【解析】
(1)將點代入即可得;
(2)①先根據二次函式的平移規律得出拋物線的表示式,再聯立兩條拋物線的表示式求解即可得;
②先根據拋物線的表示式求出點B、C的座標,再利用兩點之間的距離公式分別求出BC、BD、CD的長,然後根據勾股定理的逆定理、等腰三角形的定義即可得;
(3)設點P的座標為,根據等腰直角三角形的定義分三種情況:①當時,先根據等腰直角三角形的*質、線段中點的點座標求出點P的座標,再代入拋物線的表示式,檢驗點P是否在拋物線的表示式上即可;②當時,先根據平行四邊形的判定得出四邊形BCDP是平行四邊形,再根據點C至點B的平移方式與點D至點P的平移方式相同可求出點P的座標,然後代入拋物線的表示式,檢驗點P是否在拋物線的表示式上即可;③當時,先根據等腰直角三角形的*質得出點P在線上段BD的垂直平分線上,再利用待定係數法求出BD的垂直平分線上所在直線的解析式,然後根據兩點之間的距離公式和可求出點P的座標,最後代入拋物線的表示式,檢驗點P是否在拋物線的表示式上即可.
【詳解】
(1)將點代入拋物線的表示式得:
解得
則拋物線的表示式為
故拋物線的表示式為;
(2)①由二次函式的平移規律得:拋物線的表示式為
即
聯立,解得
則點的座標為;
②對於
當時,,解得或
則點B的座標為
當時,,則點C的座標為
由兩點之間的距離公式得:
則,
故是等腰直角三角形;
(3)拋物線的表示式為
設點P的座標為
由題意,分以下三種情況:
①當時,為等腰直角三角形
是等腰直角三角形,,
點D是CP的中點
則,解得
即點P的座標為
對於拋物線的表示式
當時,
即點在拋物線上,符合題意
②當時,為等腰直角三角形
,
,
四邊形BCDP是平行四邊形
點C至點B的平移方式與點D至點P的平移方式相同
點C至點B的平移方式為先向下平移4個單位長度,再向右平移2個單位長度
即點P的座標為
對於拋物線的表示式
當時,
即點在拋物線上,符合題意
③當時,為等腰直角三角形
則點P線上段BD的垂直平分線上
設直線BD的解析式
將點代入得:,解得
則直線BD的解析式
設BD的垂線平分線所在直線的解析式為
點的中點的座標為,即
將點代入得:,解得
則BD的垂線平分線所在直線的解析式為
因此有,即點P的座標為
由兩點之間的距離公式得:
又,為等腰直角三角形
則
解得或
當時,,即點P的座標為
當時,,即點P的座標為
對於拋物線的表示式
當時,
即點不在拋物線上,不符合題意,捨去
當時,
即點不在拋物線上,不符合題意,捨去
綜上,符合條件的點P的座標為或.
【點睛】
本題考查了利用待定係數法求二次函式的解析式、二次函式圖象的平移,點座標的平移、等腰直角三角形的判定與*質等知識點,較難的是題(3),正確分三種情況,結合等腰直角三角形的*質是解題關鍵.
知識點:二次函式與一元二次方程
題型:綜合題
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