如圖（1），在平面直角座標系中拋物線與軸交於點，與軸交於點，且經過點，連線，，作於點，將沿軸翻折，點的對應點為...

問題詳情：

如圖（1），在平面直角座標系中拋物線與軸交於點，與軸交於點，且經過點，連線，，作於點，將沿軸翻折，點的對應點為點．解答下列問題：

（1）拋物線的解析式為_______，頂點座標為________；

（2）判斷點是否在直線上，並說明理由；

（3）如圖（2），將圖（1）中沿著平移後，得到．若邊線上段上，點在拋物線上，連線，求四邊形的面積．

【回答】

（1），（4，）；（2）在，理由見解析；（3）22．

【解析】

（1）根據待定係數法將B、C兩點座標直接代入解析式即可求出a、b，用*法將解析式變形為頂點式即可得出頂點座標；

（2）由三角形ABO是直角三角形，求得∠MAO=∠B，繼而求得tan∠MAO= tan∠NAO = tan∠CAO=，從而∠CAO=∠NAO，即AC與AN共線；

（3）由平移規律可知，AF//OB，根據 直線OB解析式求出直線AF解析式，進而求出直線AF與拋物線交點，得F座標，即可四邊形的面積等於四邊形AODF面積即可解．

【詳解】

解：把點，點代入拋物線解析式得：

 ，解得，

即拋物線解析式為：，

∴，

∴頂點座標為（4，）

故*為：，（4，）；

（2）∵與y軸交於A點，

∴A點座標為(0，4)，

又∵B點座標為(8，4)，故AB⊥y軸，

∵AM⊥OB，

∴∠MAB+∠B=∠MAB+∠MAO，

∴∠MAO=∠B，

∵OA=4，AB=8，

∴tan∠MAO= tan∠B=，

將沿軸翻折，點的對應點為點．

∴tan∠MAO= tan∠NAO =，

又∵ OC=2，tan∠CAO，

∴∠CAO=∠NAO，即AC與AN共線，

故N點直線AC上；

（3）∵B點座標為(8，4)，

∴直線OB解析式為，

平移規律可知，AF//OB，又因為點A座標為，

∴直線AF解析式為，

聯立解析式得方程組： ，解得，，

故F點座標為：，

由平移*質可知四邊形AODF是平行四邊形，≌．

∴四邊形的面積=平行四邊形AODF面積，

∵平行四邊形AODF面積=，

∴四邊形的面積為22．

【點睛】

本題是函式與幾何綜合題，涉及了待定係數法求解析式、二次函式、一次函式的應用、解直角三角形、平移、軸對稱等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，會構建直角三角形求點座標，學會構建一次函式，利用方程組求兩函式圖象的交點座標，屬於會考壓軸題．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：綜合題