如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cosB=，BC=3，P是*線AB上的一個動點，以P為圓心，PA...

問題詳情：

如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cosB=，BC=3，P是*線AB上的一個動點，以P為圓心，PA為半徑的⊙P與*線AC的另一個交點為D，直線PD交直線BC於點E．

（1）當PA=1時，求CE的長；

（2）如果點P在邊AB的上，當⊙P與以點C為圓心，CE為半徑的⊙C內切時，

求⊙P的半徑；

（3）設線段BE的中點為Q，*線PQ與⊙P相交於點F，點P在運動過程中，當PE∥CF時，求AP的長．2-1-c-n-j-y

【回答】

解：（1）作PH⊥AC，垂足為H，∵PH過圓心，∴AH=DH………………………（1分）

∵∠ACB=90°，∴PH∥BC， ∵cosB=，BC=3，∴AB=5，AC=4

∵PH∥BC，∴，∴，∴…………………………………（1分）

∴……………………………………………………………………………（1分）

∴DC=，又∵，∴，∴……………………………（1分）（2）當⊙P與⊙C內切時，點C在⊙P內，∴點D在AC的延長線上

過點P作PG⊥AC，垂足為G，設PA=，則，…………（1分），，∵，，…（1分）

∵⊙P與⊙C內切,∴………………………………………………………（1分）

∴……………………………………………………（1分）

∴,∴，（捨去）………………………………（1分）

∴當⊙P與⊙C內切時，⊙P的半徑為．

（3）∵∠ABC+∠A=90゜，∠PEC+∠CDE=90゜，∵∠A=∠PDA，∴∠ABC=∠PEC

∵∠ABC=∠EBP，∴∠PEC=∠EBP，∴PB=PE…………………………………………（1分）

∵點Q為線段BE的中點，∴PQ⊥BC，∴PQ∥AC

∴當PE∥CF時，四邊形PDCF是平行四邊形，∴PF=CD………………………………（1分）

當點P在邊AB的上時，，…………………………………………（1分）

當點P在邊AB的延長線上時，，…………………………………（2分）

綜上所述，當PE∥CF時，AP的長為或．

知識點：相似三角形

題型：綜合題